تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرّك قدرته 22 kW يعمل بسرعة 1440 rpm يدير ترسًا صغيرًا له 24 سنًّا وموديول 4 mm. أوجد القوة المماسية F_t على أسنان الترس الصغير.

P = 22 kWn = 1440 rpmN₁ = 24m = 4 mm

F_t = N

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قطرها 80 mm وبكرة قطرها 500 mm والمسافة بين مركزيهما 1000 mm. أوجد زاوية الالتفاف θ على البكرة الأصغر بالدرجات.

d₁ = 80 mmd₂ = 500 mmC = 1000 mm

θ = °

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الألومنيوم مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 750 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مصمت 100 kW عند 1800 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 75 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.

P = 100 kWN = 1800 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 50 MPa و σᵧ = 50 MPa و τₓᵧ = 30 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

σ_x = 50 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −40 MPa و σᵧ = −50 MPa و τₓᵧ = −20 MPa (الشدّ موجب). أوجد إجهاد القص τ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 20° باتجاه عقارب الساعة من المحور x (موجب في الاتجاه نفسه لـ τₓᵧ).

σ_x = −40 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −20 MPaθ = -20°

τ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب الفولاذ تحت الحمل المحوري.

P = 45 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

مقطع الفولاذ (القطر 40 mm والطول 600 mm وE = 200 GPa) ومقطع من النحاس الأصفر (القطر 50 mm والطول 400 mm وE = 100 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 100 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ₂ في المقطع 2.

المقطع 1: الفولاذ, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: النحاس الأصفر, Ø50 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. يجب أن يحمل 70 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 70 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

d = mm

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 10 kg يحملها نابض جساءته 200 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 280 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 10 kgk = 200 kN/mc = 280 N·s/m

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 40 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 25 kN/m و k₂ = 20 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 40 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: F_t = 3039 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

العزم على الترس الصغير

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 22000/150,8 = 145,9 N·m

قطر الخطوة

d = m·N = 4·24 = 96 mm

القوة المماسية

F_t = 2T/d = 2·145,9/0,096 = 3039 N

الإجابة

F_t = 3039 N

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: θ = 155,8 °

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

زاوية السير

asin(0,21) = 12,12°

زاوية الالتفاف

θ = 180 − 2·12,12 = 155,8°

الإجابة

θ = 155,8°

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 4,04 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(26000·613592) = 0,07052 rad

φ = 0,07052·180/π = 4,04°

الإجابة

φ = 4,04°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 33,03 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 100000/188,5 = 530,5 N·m

القطر من الإجهاد المسموح

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·530516/(π·75)) = 33,03 mm

الإجابة

d = 33,03 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 30 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

نصف قطر دائرة مور

τ_max = R = √(((50 − 50)/2)² + 30²) = 30 MPa

الإجابة

τ_max = 30 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_θ = −12,11 MPa

معادلة التحويل

τ_θ = −5·−0,6428 + −20·0,766 = −12,11 MPa

الإجابة

τ_θ = −12,11 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 0,2292 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 45·1000/490,9 = 91,67 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الفولاذ = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 91,67/200000 = 0,0004584 = 458,4 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,0004584·500 mm = 0,2292 mm

الإجابة

δ = 0,2292 mm

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ₂ = 27,48 MPa

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

الصلابات

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm

k₂ = 100000·1963/400 = 490874 N/mm

حصة المقطع 2

F₂ = 100000·490874/909753 = 53957 N

الإجهاد

σ₂ = 53957/1963 = 27,48 MPa (ضغط)

الإجابة

σ₂ = 27,48 MPa

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 52,64 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·1000 = 1000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/1000² = 52638 N = 52,64 kN

الإجابة

P_cr = 52,64 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 90,15 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2·70000 = 140000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·140000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 90,15 mm

الإجابة

d = 90,15 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 177,5، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,09899

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(200000·10) = 2828 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 280/2828 = 0,09899

الإجابة

ζ = 0,09899

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 5,338 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 25 + 20 = 45 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(45000/40) = 33,54 rad/s

f_n = 33,54/(2π) = 5,338 Hz

الإجابة

f_n = 5,338 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design