تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرّك قدرته 22 kW يعمل بسرعة 960 rpm يدير ترسًا صغيرًا له 16 سنًّا وموديول 5 mm. أوجد القوة المماسية F_t على أسنان الترس الصغير.

P = 22 kWn = 960 rpmN₁ = 16m = 5 mm

F_t = N

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (40 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 1450 rpm الترسَ B (60 سنًّا). الترس C (15 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (25 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 1450 rpmA = 40B = 60C = 15D = 25

n_out = rpm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الفولاذ مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الفولاذ قطره 40 mm مثبَّت عند A. يؤثّر عزم التواء 500 N·m عند B على بعد 1,2 m من A، ويؤثّر عزم التواء 500 N·m في الاتجاه نفسه عند الطرف الحر C، على بعد 2,5 m إضافية. أوجد مقدار زاوية التواء الطرف C φ_C بالدرجات.

d = 40 mmT_B = 500 N·mT_C = 500 N·mAB = 1,2 mBC = 2,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 10 MPa و σᵧ = −20 MPa و τₓᵧ = −30 MPa (الشدّ موجب). أوجد الزاوية θ_p من المحور x إلى اتجاه أكبر إجهاد رئيسي، بين −90° و 90°.

σ_x = 10 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_p = °

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = −80 MPa، σᵧ = 20 MPa و τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). إجهاد خضوع المادة 460 MPa. أوجد معامل الأمان n ضد الخضوع وفق معيار تريسكا (أقصى إجهاد قص).

σ_x = −80 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب النحاس، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 10 mmL = 3 mE = 117 GPa

ε = µε

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 100 kNالجزء 1: Ø30 mm، 1,5 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 1,5 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)

δ = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 25 mm بعد 3 دورات قمةٌ مقدارها 3,8 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 25 mmx₃ = 3,8 mmn = 3

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 100 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 25 kN/m والسفلي k₂ = 50 kN/m. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 100 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: F_t = 5471 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

العزم على الترس الصغير

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T = P/ω = 22000/100,5 = 218,8 N·m

قطر الخطوة

d = m·N = 5·16 = 80 mm

القوة المماسية

F_t = 2T/d = 2·218,8/0,08 = 5471 N

الإجابة

F_t = 5471 N

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 580 rpm

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

المرحلة الأولى

n_B = 1450·40/60 = 966,7 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 966,7·15/25 = 580 rpm

الإجابة

n_out = 580 rpm

النسبة الكلية = 2,5 : 1

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 5,699 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2000/(80000·251327) = 0,09947 rad

φ = 0,09947·180/π = 5,699°

الإجابة

φ = 5,699°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: φ_C = 6,982 °

عزوم الالتواء الداخلية

اتجاه T_C مأخوذ موجبًا.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 500 + 500 = 1000 N·m

التواء كل جزء

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 1 × 10⁶·1200/(80000·251327) = 0,05968 rad

φ_BC = 500000·2500/(80000·251327) = 0,06217 rad

التواء الطرف C

φ_C = 0,05968 + 0,06217 = 0,1219 rad → |φ_C| = 6,982°

الإجابة

φ_C = 6,982°

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_p = −31,72 °

الزاوية على الدائرة

تقع النقطة x على دائرة مور بزاوية 2θp من المحور σ؛ ويُحدَّد الربع من إشارتي σₓ − σᵧ و τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−30, 10 − −20) = −63,43°

الزاوية على العنصر

θ_p = −31,72°

الإجابة

θ_p = −31,72°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: n = 4,511

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σ_Y؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σ_Y/2.

الإجهادات الرئيسية

C = −30 MPa, R = 50,99 MPa

σ₁ = 20,99 MPa, σ₂ = −80,99 MPa, σ₃ = 0

تريسكا

σ_max − σ_min = 102 MPa

n = 460/102 = 4,511

الإجابة

n = 4,511

n > 1 يعني أن النقطة لا تخضع؛ وتريسكا أكثر تحفّظًا قليلًا من فون ميزس.

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 10882 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 100·1000/78,54 = 1273 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1273/117000 = 0,01088 = 10882 µε

الإجابة

ε = 10882 µε

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 8,943 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 141,5 MPa

σ₂ = 318,3 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 141,5·1500/100000 = 2,122 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 318,3·1500/70000 = 6,821 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 8,943 mm

الإجابة

δ = 8,943 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 37,6 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/2800² = 37598 N = 37,6 kN

الإجابة

P_cr = 37,6 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 197,4 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/7,5 = 100

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197,4 MPa

الإجابة

σ_cr = 197,4 MPa

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,09945

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/3)·ln(25/3,8) = 0,628

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,628/√(39,48 + 0,3943) = 0,09945

الإجابة

ζ = 0,09945

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 16,67 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/50 → k_eq = 25·50/(25 + 50) = 16,67 kN/m

الإجابة

k_eq = 16,67 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design