تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

دودة لها 3 مدخل (مداخل) تدور بسرعة 2900 rpm وتدير عجلة دودية لها 30 سنًّا. أوجد سرعة العجلة n_w.

z = 3N_w = 30n = 2900 rpm

n_w = rpm

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

محرّك قدرته 2,2 kW بسرعة 2900 rpm يدير الترس A (36 سنًّا)، الذي يتعشّق مع الترس B (80 سنًّا). الترس C (15 سنًّا) على عمود B نفسه يدير الترس D (40 سنًّا) على عمود الخرج. كفاءة كل تعشيق 98%. أوجد عزم الخرج T_out.

P = 2,2 kWn_in = 2900 rpmA = 36B = 80C = 15D = 40η_mesh = 98%

T_out = N·m

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت مدرَّج من النحاس الأصفر مثبَّت عند A. الجزء AB قطره 75 mm وطوله 0,8 m؛ والجزء BC قطره 25 mm وطوله 1 m. يؤثّر عزم التواء 100 N·m عند الطرف الحر C. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

T = 100 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 25 mm, L₂ = 1 m

τ_max = MPa

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الألومنيوم قطره 30 mm مثبَّت في جدارين صلبين عند طرفيه A و B. يؤثّر عزم التواء 2000 N·m عند C، على بعد 0,5 m من A و 1,5 m من B. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

d = 30 mmT₀ = 2000 N·ma = 0,5 mb = 1,5 m

τ_max = MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −30 MPa و σᵧ = 0 MPa و τₓᵧ = 20 MPa (الشدّ موجب). أوجد الزاوية θ_p من المحور x إلى اتجاه أكبر إجهاد رئيسي، بين −90° و 90°.

σ_x = −30 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 90 MPa و σᵧ = −50 MPa و τₓᵧ = 60 MPa (الشدّ موجب). أوجد إجهاد القص τ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 50° عكس عقارب الساعة من المحور x (موجب في الاتجاه نفسه لـ τₓᵧ).

σ_x = 90 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 40 mm والطول 600 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من النحاس (القطر 60 mm والطول 200 mm وE = 120 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,5 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: النحاس, Ø60 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σ_max في القضيب.

P = 35 kNالجزء 1: Ø30 mm، 1,5 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)الجزء 2: Ø12 mm، 2 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 80 kg على نابض جساءته 8 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,7. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 80 kgk = 8 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 25 kg معلّقة بالنابض k₃ = 12 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 60 kN/m و k₂ = 30 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 25 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_w = 290 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

سرعة العجلة

n_w = n·z/N_w = 2900·3/30 = 290 rpm

الإجابة

n_w = 290 rpm

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T_out = 41,23 N·m

سرعة الخرج

n_out = 2900·(36/80)·(15/40) = 489,4 rpm

ω_out = 2π·489,4/60 = 51,25 rad/s

قدرة الخرج والعزم

P_out = 2200·0,98² = 2113 W

T_out = P_out/ω_out = 2113/51,25 = 41,23 N·m

الإجابة

T_out = 41,23 N·m

3.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 32,59 MPa

الإجهاد في كل جزء

T = 100 N·m = 100000 N·mm

τ_AB = 16·100000/(π·75³) = 1,207 MPa

τ_BC = 16·100000/(π·25³) = 32,59 MPa

الإجابة

τ_max = 32,59 MPa

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 282,9 MPa

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω. عندما يكون الطرفان مثبَّتين، يعطي علم السكون وحده T_A + T_B = T₀ فقط؛ والمعادلة الثانية هي التوافق (تساوي التواء الجزأين عند المقطع المحمَّل).

الاتزان والتوافق

T_A + T_B = 2000

T_A·a = T_B·b

T_A = 2000·1,5/2 = 1500 N·m

T_B = 2000·0,5/2 = 500 N·m

أقصى إجهاد قص

أكبر العزمين يحكم (القطر نفسه).

τ_max = 16·1,5 × 10⁶/(π·30³) = 282,9 MPa

الإجابة

τ_max = 282,9 MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_p = 63,43 °

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

الزاوية على الدائرة

تقع النقطة x على دائرة مور بزاوية 2θp من المحور σ؛ ويُحدَّد الربع من إشارتي σₓ − σᵧ و τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·20, −30 − 0) = 126,9°

الزاوية على العنصر

θ_p = 63,43°

الإجابة

θ_p = 63,43°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_θ = −79,36 MPa

معادلة التحويل

τ_θ = −70·0,9848 + 60·−0,1736 = −79,36 MPa

الإجابة

τ_θ = −79,36 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 168 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·2827) = 5,895 × 10⁻⁷ mm/N

الحمل

P = 0,5/2,977 × 10⁻⁶ = 167966 N = 168 kN

الإجابة

P = 168 kN

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ_max = 309,5 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 49,51 MPa

σ₂ = 309,5 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σ_max = 309,5 MPa

الإجابة

σ_max = 309,5 MPa

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 134,8 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·2500 = 2500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/2500² = 134753 N = 134,8 kN

الإجابة

P_cr = 134,8 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 31,58 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/10 = 250

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31,58 MPa

الإجابة

σ_cr = 31,58 MPa

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 1,137 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(8000/80) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1,592 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,592·√(1 − 0,7²) = 1,137 Hz

الإجابة

f_d = 1,137 Hz

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 3,275 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 60 + 30 = 90 kN/m

k_eq = 90·12/(90 + 12) = 10,59 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(10588/25) = 20,58 rad/s

f_n = 20,58/(2π) = 3,275 Hz

الإجابة

f_n = 3,275 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design