تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 15 kW يعمل بسرعة 1450 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 24 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 36 سنًّا. كفاءة زوج التروس 96%. أوجد العزم T₁ على عمود المحرك.

P = 15 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 24N₂ = 36η = 96%

T₁ = N·m

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (16 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 2900 rpm الترسَ B (80 سنًّا). الترس C (45 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (72 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 2900 rpmA = 16B = 80C = 45D = 72

n_out = rpm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الألومنيوم مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 250 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الألومنيوم ينقل 50 kW بسرعة 1450 rpm. يجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 75 MPa وألّا يتجاوز الالتواء 1° لكل m من الطول. أوجد أصغر قطر d يحقّق الحدّين كليهما.

P = 50 kWN = 1450 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 1°/mG = 26 GPa

d = mm

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −10 MPa و σᵧ = −70 MPa و τₓᵧ = −60 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

σ_x = −10 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 40 MPa و σᵧ = 60 MPa و τₓᵧ = −10 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 30° باتجاه عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = 40 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −10 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب الفولاذ تحت الحمل المحوري.

P = 100 kNd = 30 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σ_max في القضيب.

P = 85 kNالجزء 1: Ø35 mm، 0,5 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)الجزء 2: Ø16 mm، 1,5 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. يجب أن يحمل 30 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 30 kNn = 3L = 1,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

d = mm

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 20 kg على نابض جساءته 20 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,45. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 20 kgk = 20 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 100 kg معلّقة بالنابض k₃ = 60 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 20 kN/m و k₂ = 40 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 100 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₁ = 98,79 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/151,8 = 98,79 N·m

الإجابة

T₁ = 98,79 N·m

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 362,5 rpm

المرحلة الأولى

n_B = 2900·16/80 = 580 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 580·45/72 = 362,5 rpm

الإجابة

n_out = 362,5 rpm

النسبة الكلية = 8 : 1

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 3,464 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 250·1000·500/(26000·79522) = 0,06046 rad

φ = 0,06046·180/π = 3,464°

الإجابة

φ = 3,464°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 52,14 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

القطر وفق المقاومة

T = 329,3 N·m = 329286 N·mm

d_τ = ∛(16·329286/(π·75)) = 28,17 mm

القطر وفق الجساءة

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·329286/(π·26000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 52,14 mm

القطر الحاكم

يجب تحقيق الحدّين كليهما، لذا يحكم القطر الأكبر.

d = max(28,17, 52,14) = 52,14 mm

الإجابة

d = 52,14 mm

هنا تحكم الجساءة.

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 67,08 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

نصف قطر دائرة مور

τ_max = R = √(((−10 − −70)/2)² + −60²) = 67,08 MPa

الإجابة

τ_max = 67,08 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = 53,66 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = 50 + −10·0,5 + −10·−0,866 = 53,66 MPa

الإجابة

σ_θ = 53,66 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 1,061 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 100·1000/706,9 = 141,5 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الفولاذ = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 141,5/200000 = 0,0007074 = 707,4 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,0007074·1500 mm = 1,061 mm

الإجابة

δ = 1,061 mm

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ_max = 422,8 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 88,35 MPa

σ₂ = 422,8 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σ_max = 422,8 MPa

الإجابة

σ_max = 422,8 MPa

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 92,12 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·2500 = 2500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/2500² = 92116 N = 92,12 kN

الإجابة

P_cr = 92,12 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 69,91 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 3·30000 = 90000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 69,91 mm

الإجابة

d = 69,91 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 171,7، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 4,495 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(20000/20) = 31,62 rad/s

f_n = 31,62/(2π) = 5,033 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5,033·√(1 − 0,45²) = 4,495 Hz

الإجابة

f_d = 4,495 Hz

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 2,757 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 20 + 40 = 60 kN/m

k_eq = 60·60/(60 + 60) = 30 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(30000/100) = 17,32 rad/s

f_n = 17,32/(2π) = 2,757 Hz

الإجابة

f_n = 2,757 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design