تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 5,5 kW يعمل بسرعة 960 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 18 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 36 سنًّا. كفاءة زوج التروس 98%. أوجد عزم الخرج T₂ على عمود الترس.

P = 5,5 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 18N₂ = 36η = 98%

T₂ = N·m

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

محرّك قدرته 11 kW بسرعة 2900 rpm يدير الترس A (16 سنًّا)، الذي يتعشّق مع الترس B (80 سنًّا). الترس C (25 سنًّا) على عمود B نفسه يدير الترس D (48 سنًّا) على عمود الخرج. كفاءة كل تعشيق 97%. أوجد عزم الخرج T_out.

P = 11 kWn_in = 2900 rpmA = 16B = 80C = 25D = 48η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من النحاس الأصفر مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 500 N·md = 40 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مصمت 30 kW عند 1500 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 80 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.

P = 30 kWN = 1500 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 100 MPa، σᵧ = 110 MPa و τₓᵧ = 20 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 50° عكس عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σ_y′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.

σ_x = 100 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 50°

σ_y′ = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −10 MPa و σᵧ = −60 MPa و τₓᵧ = 20 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 25° عكس عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = −10 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب الفولاذ، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 60 kNd = 25 mmL = 1 mE = 200 GPa

ε = µε

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 50 kNالجزء 1: Ø30 mm، 0,5 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 2 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)

δ = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 150 kg على نابض جساءته 50 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,7. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 150 kgk = 50 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 5 kg معلّقة بالنابض k₃ = 40 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 40 kN/m و k₂ = 80 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 5 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₂ = 107,2 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/100,5 = 54,71 N·m

عزم الخرج

T₂ = 54,71·36/18·0,98 = 107,2 N·m

الإجابة

T₂ = 107,2 N·m

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T_out = 327,2 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

سرعة الخرج

n_out = 2900·(16/80)·(25/48) = 302,1 rpm

ω_out = 2π·302,1/60 = 31,63 rad/s

قدرة الخرج والعزم

P_out = 11000·0,97² = 10350 W

T_out = P_out/ω_out = 10350/31,63 = 327,2 N·m

الإجابة

T_out = 327,2 N·m

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 2,923 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(39000·251327) = 0,05101 rad

φ = 0,05101·180/π = 2,923°

الإجابة

φ = 2,923°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 22,99 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 30000/157,1 = 191 N·m

القطر من الإجهاد المسموح

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·190986/(π·80)) = 22,99 mm

الإجابة

d = 22,99 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_y′ = 84,44 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

معادلة التحويل للوجه y′

σ_y′ = 105 − (−5)·(−0,1736) − 20·0,9848 = 84,44 MPa

تحقّق

مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.

σ_x′ = 125,6 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 210 = σ_x + σ_y

الإجابة

σ_y′ = 84,44 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = −3,609 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = −35 + 25·0,6428 + 20·0,766 = −3,609 MPa

الإجابة

σ_θ = −3,609 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 611,2 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 60·1000/490,9 = 122,2 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الفولاذ = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 122,2/200000 = 0,0006112 = 611,2 µε

الإجابة

ε = 611,2 µε

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 4,901 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 70,74 MPa

σ₂ = 159,2 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 70,74·500/100000 = 0,3537 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 159,2·2000/70000 = 4,547 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,901 mm

الإجابة

δ = 4,901 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 12,03 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/1750² = 12032 N = 12,03 kN

الإجابة

P_cr = 12,03 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 69,94 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/12,5 = 168

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/168² = 69,94 MPa

الإجابة

σ_cr = 69,94 MPa

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 2,075 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(50000/150) = 18,26 rad/s

f_n = 18,26/(2π) = 2,906 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,906·√(1 − 0,7²) = 2,075 Hz

الإجابة

f_d = 2,075 Hz

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 12,33 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 40 + 80 = 120 kN/m

k_eq = 120·40/(120 + 40) = 30 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(30000/5) = 77,46 rad/s

f_n = 77,46/(2π) = 12,33 Hz

الإجابة

f_n = 12,33 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design