تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

يمر سير على بكرة قائدة قطرها 100 mm تدور بسرعة 1450 rpm. الشد 1500 N في الجانب المشدود و600 N في الجانب المرتخي. أوجد القدرة P المنقولة بوحدة kW.

d₁ = 100 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 1500 NT₂ = 600 N

P = kW

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (32 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 2900 rpm الترسَ B (60 سنًّا). الترس C (16 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (72 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 2900 rpmA = 32B = 60C = 16D = 72

n_out = rpm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الفولاذ مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 250 N·md = 20 mmL = 0,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من النحاس الأصفر قطره 40 mm مثبَّت في جدارين صلبين عند طرفيه A و B. يؤثّر عزم التواء 200 N·m عند C، على بعد 3 m من A و 0,5 m من B. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

d = 40 mmT₀ = 200 N·ma = 3 mb = 0,5 m

τ_max = MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 140 MPa و σᵧ = 30 MPa و τₓᵧ = 30 MPa (الشدّ موجب). أوجد الزاوية θ_p من المحور x إلى اتجاه أكبر إجهاد رئيسي، بين −90° و 90°.

σ_x = 140 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

خزان أسطواني رقيق الجدار قطره الداخلي 1000 mm وسُمك جداره 10 mm يحتوي غازًا عند ضغط مقيس 0,8 MPa. وهو مصنوع من لوح ملحوم على طول درز حلزوني يميل بزاوية 55° عن محور الأسطوانة. أوجد الإجهاد العمودي σ_n المؤثّر عبر درز اللحام.

D = 1000 mmt = 10 mmp = 0,8 MPaα = 55°

σ_n = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب النحاس الأصفر تحت الحمل المحوري.

P = 65 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

δ = mm

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 20 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 120 MPa) داخل أنبوب من البرونز (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 70 mm وE = 110 GPa والإجهاد المسموح 80 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaالأنبوب: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 1 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 30 mm بعد 5 دورات قمةٌ مقدارها 8,5 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 30 mmx₅ = 8,5 mmn = 5

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 100 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 80 kN/m و k₂ = 10 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 100 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 6,833 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

سرعة السير

v = 7,592 m/s

القدرة

P = (1500 − 600)·7,592 = 6833 W = 6,833 kW

الإجابة

P = 6,833 kW

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 343,7 rpm

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

المرحلة الأولى

n_B = 2900·32/60 = 1547 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 1547·16/72 = 343,7 rpm

الإجابة

n_out = 343,7 rpm

النسبة الكلية = 8,438 : 1

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 5,699 °

عزم القصور القطبي

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 250·1000·500/(80000·15708) = 0,09947 rad

φ = 0,09947·180/π = 5,699°

الإجابة

φ = 5,699°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 13,64 MPa

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω. عندما يكون الطرفان مثبَّتين، يعطي علم السكون وحده T_A + T_B = T₀ فقط؛ والمعادلة الثانية هي التوافق (تساوي التواء الجزأين عند المقطع المحمَّل).

الاتزان والتوافق

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·0,5/3,5 = 28,57 N·m

T_B = 200·3/3,5 = 171,4 N·m

أقصى إجهاد قص

أكبر العزمين يحكم (القطر نفسه).

τ_max = 16·171429/(π·40³) = 13,64 MPa

الإجابة

τ_max = 13,64 MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_p = 14,31 °

الزاوية على الدائرة

تقع النقطة x على دائرة مور بزاوية 2θp من المحور σ؛ ويُحدَّد الربع من إشارتي σₓ − σᵧ و τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, 140 − 30) = 28,61°

الزاوية على العنصر

θ_p = 14,31°

الإجابة

θ_p = 14,31°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_n = 26,58 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. الأسطوانة الرقيقة الجدار: الإجهاد المحيطي σ_h = pr/t والإجهاد المحوري σ_a = pr/(2t)؛ وهما الإجهادان الرئيسيان في الجدار.

إجهادات الجدار

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 0,8·500/10 = 40 MPa

σ_a = pr/(2t) = 20 MPa

التحويل إلى الدرز

خذ x على امتداد المحور (σ_a) و y على امتداد المحيط (σ_h). العمودي على الدرز يصنع 90° − α مع المحور.

σ_n = 20·sin²55° + 40·cos²55° = 26,58 MPa

الإجابة

σ_n = 26,58 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 12,41 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 65·1000/78,54 = 827,6 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس الأصفر = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 827,6/100000 = 0,008276 = 8276 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,008276·1500 mm = 12,41 mm

الإجابة

δ = 12,41 mm

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 302,1 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·4006 = 5,034 × 10⁸ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,0006, 0,0007273) = 0,0006 (الفولاذ)

أكبر حمل

P_max = 0,0006·5,034 × 10⁸ = 302064 N = 302,1 kN

الإجابة

P_max = 302,1 kN

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 8,225 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·4000 = 8000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/8000² = 8225 N = 8,225 kN

الإجابة

P_cr = 8,225 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 197,4 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·1000 = 500 mm

KL/r = 500/5 = 100

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197,4 MPa

الإجابة

σ_cr = 197,4 MPa

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,04011

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/5)·ln(30/8,5) = 0,2522

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2522/√(39,48 + 0,06362) = 0,04011

الإجابة

ζ = 0,04011

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 90 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 80 + 10 = 90 kN/m

الإجابة

k_eq = 90 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design