تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

دودة لها 4 مدخل (مداخل) تدور بسرعة 1440 rpm وتدير عجلة دودية لها 36 سنًّا. أوجد سرعة العجلة n_w.

z = 4N_w = 36n = 1440 rpm

n_w = rpm

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قائدة قطرها 100 mm تدور بسرعة 1450 rpm وبكرة قطرها 315 mm؛ والمسافة بين المركزين 600 mm. معامل الاحتكاك 0,3 ولا يجوز أن يتجاوز الشد في الجانب المشدود 1500 N. أوجد أكبر قدرة P يستطيع السير نقلها دون انزلاق، بوحدة kW (أهمل أثر القوة الطاردة المركزية).

d₁ = 100 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 315 mmC = 600 mmμ = 0,3T₁ = 1500 N

P = kW

3.التواء الأعمدةمتوسطة

في اختبار التواء، تُلوى عيّنة مصمتة قطرها 12 mm بعزم 30 N·m. يدور طرفا طول قياس مقداره 400 mm بزاوية 12,99° أحدهما بالنسبة إلى الآخر (المادة لا تزال مرنة). أوجد معامل القص G للمادة.

T = 30 N·md = 12 mmL = 400 mmφ = 12,99°

G = GPa

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مصمت 10 kW عند 1450 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 60 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.

P = 10 kWN = 1450 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = −60 MPa، σᵧ = 20 MPa و τₓᵧ = −10 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 45° باتجاه عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σ_y′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.

σ_x = −60 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −10 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −10 MPa و σᵧ = 110 MPa و τₓᵧ = 50 MPa (الشدّ موجب). أوجد إجهاد القص τ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 35° عكس عقارب الساعة من المحور x (موجب في الاتجاه نفسه لـ τₓᵧ).

σ_x = −10 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 35°

τ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب من الفولاذ (القطر 25 mm وE = 200 GPa) داخل أنبوب من البرونز (القطر الخارجي 120 mm والقطر الداخلي 50 mm وE = 110 GPa). طول كل منهما 300 mm، ويُضغطان معًا بين لوحين صلبين بقوة 50 kN. أوجد الانضغاط δ.

P = 50 kNالقضيب: Ø25 mm, E = 200 GPaالأنبوب: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 25 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 150 MPa) داخل أنبوب من البرونز (القطر الخارجي 120 mm والقطر الداخلي 60 mm وE = 110 GPa والإجهاد المسموح 80 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaالأنبوب: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 30 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 80 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 80 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 20 kg على نابض جساءته 15 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,7. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 20 kgk = 15 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 10 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 50 kN/m و k₂ = 20 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 10 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_w = 160 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

سرعة العجلة

n_w = n·z/N_w = 1440·4/36 = 160 rpm

الإجابة

n_w = 160 rpm

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 6,444 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

زاوية الالتفاف

θ = 2,781 rad

الشد في الجانب المرتخي

e^μθ = e^0,8344 = 2,303, T₂ = 1500/2,303 = 651,2 N

القدرة

P = (1500 − 651,2)·7,592 = 6,444 kW

الإجابة

P = 6,444 kW

3.التواء الأعمدة

الإجابة: G = 26 GPa

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي والزاوية

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 12,99·π/180 = 0,2267 rad

معامل القص

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·400/(2036·0,2267) = 26000 MPa

G = 26 GPa

الإجابة

G = 26 GPa

للمقارنة: الفولاذ ≈ 80 GPa، النحاس الأصفر ≈ 39 GPa، الألومنيوم ≈ 26 GPa.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 17,75 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 10000/151,8 = 65,86 N·m

القطر من الإجهاد المسموح

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·65857/(π·60)) = 17,75 mm

الإجابة

d = 17,75 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_y′ = −30 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

معادلة التحويل للوجه y′

σ_y′ = −20 − (−40)·0 − (−10)·(−1) = −30 MPa

تحقّق

مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.

σ_x′ = −10 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −40 = σ_x + σ_y

الإجابة

σ_y′ = −30 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_θ = 73,48 MPa

معادلة التحويل

τ_θ = −−60·0,9397 + 50·0,342 = 73,48 MPa

الإجابة

τ_θ = 73,48 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 0,01332 mm

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·9346 = 1,126 × 10⁹ N

الانضغاط

δ = 50000·300/1,126 × 10⁹ = 0,01332 mm

الإجابة

δ = 0,01332 mm

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 750 kN

المساحات

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·8482 = 1,031 × 10⁹ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,00075, 0,0007273) = 0,0007273 (البرونز)

أكبر حمل

P_max = 0,0007273·1,031 × 10⁹ = 749984 N = 750 kN

الإجابة

P_max = 750 kN

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 78,48 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·1000 = 1000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1000² = 78485 N = 78,48 kN

الإجابة

P_cr = 78,48 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 43,9 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2·80000 = 160000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 43,9 mm

الإجابة

d = 43,9 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 136,7، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 3,113 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(15000/20) = 27,39 rad/s

f_n = 27,39/(2π) = 4,359 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4,359·√(1 − 0,7²) = 3,113 Hz

الإجابة

f_d = 3,113 Hz

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 70 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 50 + 20 = 70 kN/m

الإجابة

k_eq = 70 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design