تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرّك قدرته 5,5 kW يعمل بسرعة 1450 rpm يدير ترسًا صغيرًا له 16 سنًّا وموديول 3 mm. أوجد القوة المماسية F_t على أسنان الترس الصغير.

P = 5,5 kWn = 1450 rpmN₁ = 16m = 3 mm

F_t = N

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

محرّك قدرته 4 kW بسرعة 1450 rpm يدير الترس A (20 سنًّا)، الذي يتعشّق مع الترس B (72 سنًّا). الترس C (20 سنًّا) على عمود B نفسه يدير الترس D (32 سنًّا) على عمود الخرج. كفاءة كل تعشيق 97%. أوجد عزم الخرج T_out.

P = 4 kWn_in = 1450 rpmA = 20B = 72C = 20D = 32η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت مدرَّج من الألومنيوم مثبَّت عند A. الجزء AB قطره 50 mm وطوله 1,2 m؛ والجزء BC قطره 30 mm وطوله 0,8 m. يؤثّر عزم التواء 750 N·m عند الطرف الحر C. أوجد زاوية التواء الطرف C φ_C بالدرجات.

T = 750 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 30 mm, L₂ = 0,8 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 5 kW عند 500 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 5 kWN = 500 rpmd_o = 60 mmd_i = 48 mm

τ_max = MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −20 MPa و σᵧ = −50 MPa و τₓᵧ = −30 MPa (الشدّ موجب). أوجد الزاوية θ_p من المحور x إلى اتجاه أكبر إجهاد رئيسي، بين −90° و 90°.

σ_x = −20 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_p = °

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 80 MPa و σᵧ = −80 MPa و τₓᵧ = −20 MPa (الشدّ موجب). أوجد إجهاد القص τ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 50° عكس عقارب الساعة من المحور x (موجب في الاتجاه نفسه لـ τₓᵧ).

σ_x = 80 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 30 mm والطول 600 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من النحاس الأصفر (القطر 50 mm والطول 200 mm وE = 100 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,2 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: النحاس الأصفر, Ø50 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 15 kNالجزء 1: Ø25 mm، 1 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 1 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)

δ = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 60 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 20 kg يحملها نابض جساءته 10 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 270 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 20 kgk = 10 kN/mc = 270 N·s/m

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 5 kg معلّقة بالنابض k₃ = 80 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 10 kN/m و k₂ = 50 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 5 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: F_t = 1509 N

هندسة التروس: الموديول m يحدّد حجم السن. الترس ذو N سنًّا قطر خطوته d = m·N، والترسان المتعشّقان لهما الموديول نفسه، والمسافة بين مركزيهما a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. سرعة خط الخطوة v = π·d·n/60، وقوة السن المماسية تُستنتج من العزم: F_t = 2T/d.

العزم على الترس الصغير

ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 5500/151,8 = 36,22 N·m

قطر الخطوة

d = m·N = 3·16 = 48 mm

القوة المماسية

F_t = 2T/d = 2·36,22/0,048 = 1509 N

الإجابة

F_t = 1509 N

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T_out = 142,8 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

سرعة الخرج

n_out = 1450·(20/72)·(20/32) = 251,7 rpm

ω_out = 2π·251,7/60 = 26,36 rad/s

قدرة الخرج والعزم

P_out = 4000·0,97² = 3764 W

T_out = P_out/ω_out = 3764/26,36 = 142,8 N·m

الإجابة

T_out = 142,8 N·m

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ_C = 19,86 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزوم القصور القطبية

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

التواء كل جزء

T = 750 N·m = 750000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 750000·1200/(26000·613592) = 0,05641 rad

φ_BC = 750000·800/(26000·79522) = 0,2902 rad

الالتواء الكلي

φ_C = 0,05641 + 0,2902 = 0,3466 rad = 19,86°

الإجابة

φ_C = 19,86°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 3,814 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 5000/52,36 = 95,49 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(60⁴ − 48⁴)/32 = 751193 mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 95493·30/751193 = 3,814 MPa

الإجابة

τ_max = 3,814 MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_p = −31,72 °

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

الزاوية على الدائرة

تقع النقطة x على دائرة مور بزاوية 2θp من المحور σ؛ ويُحدَّد الربع من إشارتي σₓ − σᵧ و τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−30, −20 − −50) = −63,43°

الزاوية على العنصر

θ_p = −31,72°

الإجابة

θ_p = −31,72°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_θ = −75,31 MPa

معادلة التحويل

τ_θ = −80·0,9848 + −20·−0,1736 = −75,31 MPa

الإجابة

τ_θ = −75,31 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 38 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·1963) = 1,019 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,2/5,263 × 10⁻⁶ = 38003 N = 38 kN

الإجابة

P = 38 kN

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 0,9877 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 30,56 MPa

σ₂ = 47,75 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 30,56·1000/100000 = 0,3056 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 47,75·1000/70000 = 0,6821 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,9877 mm

الإجابة

δ = 0,9877 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 109,9 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·1000 = 2000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2000² = 109878 N = 109,9 kN

الإجابة

P_cr = 109,9 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 69,09 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/15 = 100

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

الإجابة

σ_cr = 69,09 MPa

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,3019

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·20) = 894,4 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 270/894,4 = 0,3019

الإجابة

ζ = 0,3019

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 13,18 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 10 + 50 = 60 kN/m

k_eq = 60·80/(60 + 80) = 34,29 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(34286/5) = 82,81 rad/s

f_n = 82,81/(2π) = 13,18 Hz

الإجابة

f_n = 13,18 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design