تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

تدير بكرة قطرها 120 mm تدور بسرعة 2880 rpm بكرةً قطرها 315 mm بسير انزلاقه 4 %. أوجد سرعة البكرة المقودة n₂.

n₁ = 2880 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 315 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس كوكبية للترس الشمسي 18 سنًّا ولكل ترس كوكبي 12 سنًّا. الترس الحلقي مثبَّت والترس الشمسي يُدار بسرعة 1800 rpm. أوجد سرعة الحامل الكوكبي n_c.

N_s = 18N_p = 12n_s = 1800 rpm

n_c = rpm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت مدرَّج من الفولاذ مثبَّت عند A. الجزء AB قطره 50 mm وطوله 2 m؛ والجزء BC قطره 20 mm وطوله 1,2 m. يؤثّر عزم التواء 250 N·m عند الطرف الحر C. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

T = 250 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 2 md₂ = 20 mm, L₂ = 1,2 m

τ_max = MPa

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مجوّف 50 kW بسرعة 1500 rpm. يُراد أن يكون قطره الداخلي 0,8 مرة من قطره الخارجي، ويجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 40 MPa. أوجد أصغر قطر خارجي d_o.

P = 50 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = −10 MPa، σᵧ = 60 MPa و τₓᵧ = 10 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 15° عكس عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σ_y′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.

σ_x = −10 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 15°

σ_y′ = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 10 MPa و σᵧ = 120 MPa و τₓᵧ = 30 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 50° عكس عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = 10 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 20 mm والطول 400 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من البرونز (القطر 60 mm والطول 300 mm وE = 110 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,3 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: البرونز, Ø60 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 95 kNالجزء 1: Ø30 mm، 0,5 m، الفولاذ (E = 200 GPa)الجزء 2: Ø12 mm، 1 m، الفولاذ (E = 200 GPa)

δ = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 25 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 12 mm بعد 3 دورات قمةٌ مقدارها 4,7 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 12 mmx₃ = 4,7 mmn = 3

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 25 kg معلّقة بالنابض k₃ = 15 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 80 kN/m و k₂ = 50 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 25 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n₂ = 1053 rpm

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

السرعة من دون انزلاق

2880·120/315 = 1097 rpm

مع الانزلاق

n₂ = 1097·0,96 = 1053 rpm

الإجابة

n₂ = 1053 rpm

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_c = 540 rpm

مجموعات التروس الكوكبية: ترتبط سرعات الشمس والحلقة والحامل بمعادلة ويليس (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: من منظور الحامل، المجموعة مجموعة تروس عادية والكواكب تروس وسيطة. تثبيت أحد العناصر يحوّل المجموعة إلى مخفّض بنسبة واحدة.

أسنان الترس الحلقي

N_r = N_s + 2·N_p = 18 + 2·12 = 42

معادلة ويليس مع تثبيت الحلقة

اجعل n_r = 0 وحلّ لإيجاد سرعة الحامل.

(1800 − n_c)/(0 − n_c) = −42/18

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1800·18/60 = 540 rpm

الإجابة

n_c = 540 rpm

يدور الحامل في اتجاه الشمس نفسه.

3.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 159,2 MPa

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

الإجهاد في كل جزء

T = 250 N·m = 250000 N·mm

τ_AB = 16·250000/(π·50³) = 10,19 MPa

τ_BC = 16·250000/(π·20³) = 159,2 MPa

الإجابة

τ_max = 159,2 MPa

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d_o = 40,95 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

القطر الخارجي من الإجهاد المسموح

T = 318,3 N·m = 318310 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·318310/(π·40·0,5904)) = 40,95 mm

d_i = 0,8·40,95 = 32,76 mm

الإجابة

d_o = 40,95 mm

العمود المصمت يحتاج إلى d = 34,35 mm؛ والمجوّف أكبر قليلًا لكنه أخفّ بكثير.

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_y′ = 50,31 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

معادلة التحويل للوجه y′

σ_y′ = 25 − (−35)·0,866 − 10·0,5 = 50,31 MPa

تحقّق

مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.

σ_x′ = −0,3109 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 50 = σ_x + σ_y

الإجابة

σ_y′ = 50,31 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = 104,1 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = 65 + −55·−0,1736 + 30·0,9848 = 104,1 MPa

الإجابة

σ_θ = 104,1 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 40,92 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314,2) = 6,366 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·2827) = 9,646 × 10⁻⁷ mm/N

الحمل

P = 0,3/7,331 × 10⁻⁶ = 40923 N = 40,92 kN

الإجابة

P = 40,92 kN

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 4,536 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 134,4 MPa

σ₂ = 840 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 134,4·500/200000 = 0,336 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 840·1000/200000 = 4,2 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,536 mm

الإجابة

δ = 4,536 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 5,888 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·1500 = 1500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1500² = 5888 N = 5,888 kN

الإجابة

P_cr = 5,888 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 21,93 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/5 = 300

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

الإجابة

σ_cr = 21,93 MPa

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,04967

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/3)·ln(12/4,7) = 0,3124

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3124/√(39,48 + 0,09762) = 0,04967

الإجابة

ζ = 0,04967

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 3,691 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 80 + 50 = 130 kN/m

k_eq = 130·15/(130 + 15) = 13,45 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(13448/25) = 23,19 rad/s

f_n = 23,19/(2π) = 3,691 Hz

الإجابة

f_n = 3,691 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design