تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

يمر سير على بكرة قائدة قطرها 125 mm تدور بسرعة 1440 rpm. الشد 800 N في الجانب المشدود و200 N في الجانب المرتخي. أوجد القدرة P المنقولة بوحدة kW.

d₁ = 125 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 800 NT₂ = 200 N

P = kW

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (36 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 1450 rpm الترسَ B (60 سنًّا). الترس C (24 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (25 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 1450 rpmA = 36B = 60C = 24D = 25

n_out = rpm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

في اختبار التواء، تُلوى عيّنة مصمتة قطرها 10 mm بعزم 20 N·m. يدور طرفا طول قياس مقداره 250 mm بزاوية 11,22° أحدهما بالنسبة إلى الآخر (المادة لا تزال مرنة). أوجد معامل القص G للمادة.

T = 20 N·md = 10 mmL = 250 mmφ = 11,22°

G = GPa

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مصمت 15 kW عند 3000 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 75 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.

P = 15 kWN = 3000 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 140 MPa و σᵧ = −80 MPa و τₓᵧ = −30 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

σ_x = 140 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 0 MPa و σᵧ = 40 MPa و τₓᵧ = 10 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 30° عكس عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = 0 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب من الفولاذ (القطر 40 mm وE = 200 GPa) داخل أنبوب من النحاس (القطر الخارجي 120 mm والقطر الداخلي 70 mm وE = 120 GPa). طول كل منهما 400 mm، ويُضغطان معًا بين لوحين صلبين بقوة 250 kN. أوجد الانضغاط δ.

P = 250 kNالقضيب: Ø40 mm, E = 200 GPaالأنبوب: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 30 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 200 MPa) داخل أنبوب من الألومنيوم (القطر الخارجي 80 mm والقطر الداخلي 50 mm وE = 70 GPa والإجهاد المسموح 60 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaالأنبوب: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 50 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. يجب أن يحمل 120 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 120 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

d = mm

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 20 kg يحملها نابض جساءته 100 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 140 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 20 kgk = 100 kN/mc = 140 N·s/m

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 5 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 50 kN/m و k₂ = 100 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 5 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 5,655 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

سرعة السير

v = 9,425 m/s

القدرة

P = (800 − 200)·9,425 = 5655 W = 5,655 kW

الإجابة

P = 5,655 kW

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 835,2 rpm

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

المرحلة الأولى

n_B = 1450·36/60 = 870 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 870·24/25 = 835,2 rpm

الإجابة

n_out = 835,2 rpm

النسبة الكلية = 1,736 : 1

3.التواء الأعمدة

الإجابة: G = 26,01 GPa

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي والزاوية

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴

φ = 11,22·π/180 = 0,1958 rad

معامل القص

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·250/(981,7·0,1958) = 26008 MPa

G = 26,01 GPa

الإجابة

G = 26,01 GPa

للمقارنة: الفولاذ ≈ 80 GPa، النحاس الأصفر ≈ 39 GPa، الألومنيوم ≈ 26 GPa.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 14,8 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 15000/314,2 = 47,75 N·m

القطر من الإجهاد المسموح

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·47746/(π·75)) = 14,8 mm

الإجابة

d = 14,8 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 114 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

نصف قطر دائرة مور

τ_max = R = √(((140 − −80)/2)² + −30²) = 114 MPa

الإجابة

τ_max = 114 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = 18,66 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = 20 + −20·0,5 + 10·0,866 = 18,66 MPa

الإجابة

σ_θ = 18,66 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 0,08721 mm

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·7461 = 1,147 × 10⁹ N

الانضغاط

δ = 250000·400/1,147 × 10⁹ = 0,08721 mm

الإجابة

δ = 0,08721 mm

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 305 kN

المساحات

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·3063 = 3,558 × 10⁸ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,001, 0,0008571) = 0,0008571 (الألومنيوم)

أكبر حمل

P_max = 0,0008571·3,558 × 10⁸ = 304959 N = 305 kN

الإجابة

P_max = 305 kN

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 2,12 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·5000 = 10000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/10000² = 2120 N = 2,12 kN

الإجابة

P_cr = 2,12 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 86,31 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2·120000 = 240000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 86,31 mm

الإجابة

d = 86,31 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 129,8، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,0495

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·20) = 2828 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 140/2828 = 0,0495

الإجابة

ζ = 0,0495

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 150 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 50 + 100 = 150 kN/m

الإجابة

k_eq = 150 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design