التروس ومجموعات التروس
- تروس متعشّقة
- n1·N1 = n2·N2
- العزم
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- القدرة
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- مجموعة تروس مركّبة
- النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل
تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
التواء الأعمدة
- إجهاد القص
- τ = T·r/J
- عمود مصمت
- J = πd⁴/32
- عمود مجوّف
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- زاوية الالتواء
- φ = TL/(GJ)
- القدرة
- P = T·ω = 2πnT/60
الطريقة
- أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
- إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
- زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
- إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.
دائرة مور وتحويل الإجهاد
- المركز
- C = (σx + σy)/2
- نصف القطر
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- الإجهادات الرئيسية
- σ1,2 = C ± R
- الاتجاه الرئيسي
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- مستوى مائل
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
الطريقة
- احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
- احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
- الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
الإجهاد والانفعال المحوري
- الإجهاد العمودي
- σ = F/A
- الانفعال
- ε = ΔL/L
- قانون هوك
- σ = E·ε
- الاستطالة
- ΔL = FL/(EA)
- الانفعال الحراري
- εT = α·ΔT
انبعاج الأعمدة
- حمل أويلر
- Pcr = π²EI/(KL)²
- معامل الطول الفعّال
- K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
- الإجهاد الحرج
- σcr = Pcr/A
- النحافة
- λ = KL/r, r = √(I/A)
الاهتزازات الميكانيكية
- التردد الطبيعي
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- من الانحراف الاستاتيكي
- ωn = √(g/δst)
- التخميد الحرج
- cc = 2√(km) = 2mωn
- نسبة التخميد
- ζ = c/cc
- التردد المخمَّد
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- التناقص اللوغاريتمي
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- نوابض على التوازي
- k = k1 + k2
- نوابض على التوالي
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2مسائل تدريبية
1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة
محرّك قدرته 2,2 kW بسرعة 2900 rpm يدير دودة لها 1 مدخل (مداخل). للعجلة الدودية 60 سنًّا وكفاءة نقل الحركة 85%. أوجد عزم الخرج Tw على عمود العجلة.
z = 1Nw = 60n = 2900 rpmP = 2,2 kWη = 85%
Tw = N·m
2.التروس ومجموعات التروسصعبة
محرّك قدرته 1,5 kW بسرعة 1440 rpm يدير الترس A (15 سنًّا)، الذي يتعشّق مع الترس B (25 سنًّا). الترس C (25 سنًّا) على عمود B نفسه يدير الترس D (72 سنًّا) على عمود الخرج. كفاءة كل تعشيق 97%. أوجد عزم الخرج Tout.
P = 1,5 kWnin = 1440 rpmA = 15B = 25C = 25D = 72ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.التواء الأعمدةمتوسطة
عمود مصمت من الألومنيوم طوله 2 m يحمل عزم التواء 1000 N·m. يجب ألّا تتجاوز زاوية الالتواء بين طرفيه 2°. أوجد أصغر قطر d يحقّق هذا الحد.
T = 1000 N·mL = 2 mG = 26 GPaφallow = 2°
d = mm
4.التواء الأعمدةصعبة
عمود مصمت من الفولاذ قطره 60 mm مثبَّت عند A. يؤثّر عزم التواء 400 N·m عند B على بعد 1,2 m من A، ويؤثّر عزم التواء 400 N·m في الاتجاه نفسه عند الطرف الحر C، على بعد 2,5 m إضافية. أوجد مقدار زاوية التواء الطرف C φC بالدرجات.
d = 60 mmTB = 400 N·mTC = 400 N·mAB = 1,2 mBC = 2,5 mG = 80 GPa
φC = °
5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة
نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −40 MPa و σᵧ = −50 MPa و τₓᵧ = 10 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τmax.
σx = −40 MPaσy = −50 MPaτxy = 10 MPa
τmax = MPa
6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة
نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 40 MPa و σᵧ = 50 MPa و τₓᵧ = 30 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σθ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 50° عكس عقارب الساعة من المحور x.
σx = 40 MPaσy = 50 MPaτxy = 30 MPaθ = 50°
σθ = MPa
7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة
أوجد استطالة δ قضيب الألومنيوم تحت الحمل المحوري.
P = 115 kNd = 16 mmL = 3 mE = 70 GPa
δ = mm
8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة
مقطع الفولاذ (القطر 30 mm والطول 400 mm وE = 200 GPa) ومقطع من الألومنيوم (القطر 30 mm والطول 400 mm وE = 70 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 40 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ2 في المقطع 2.
المقطع 1: الفولاذ, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: الألومنيوم, Ø30 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
9.انبعاج الأعمدةمتوسطة
عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.
L = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.انبعاج الأعمدةصعبة
عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σcr من صيغة أويلر.
L = 1,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 25 mm
σcr = MPa
11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة
كتلة 15 kg على نابض جساءته 100 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,35. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد fd لاهتزازها الحر بالـ Hz.
m = 15 kgk = 100 kN/mζ = 0,35
fd = Hz
12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة
كتلة 25 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 15 kN/m والسفلي k₂ = 50 kN/m. أوجد الجساءة المكافئة keq لنظام النوابض بالـ kN/m.
m = 25 kgk1 = 15 kN/mk2 = 50 kN/m
keq = kN/m
3المحاليل
1.التروس ومجموعات التروس
الإجابة: Tw = 369,5 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
سرعة العجلة
nw = n·z/Nw = 2900·1/60 = 48,33 rpm
عزم الخرج
ωw = 2π·48,33/60 = 5,061 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0,85·2200/5,061 = 369,5 N·m
الإجابة
Tw = 369,5 N·m
2.التروس ومجموعات التروس
الإجابة: Tout = 44,92 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
سرعة الخرج
nout = 1440·(15/25)·(25/72) = 300 rpm
ωout = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
قدرة الخرج والعزم
Pout = 1500·0,97² = 1411 W
Tout = Pout/ωout = 1411/31,42 = 44,92 N·m
الإجابة
Tout = 44,92 N·m
3.التواء الأعمدة
الإجابة: d = 68,83 mm
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
عزم القصور القطبي المطلوب
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 2·π/180 = 0,03491 rad
J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·2000/(26000·0,03491) = 2,204 × 10⁶ mm⁴
القطر
d = (32J/π)1/4 = 68,83 mm
الإجابة
d = 68,83 mm
عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.
4.التواء الأعمدة
الإجابة: φC = 1,103 °
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
عزوم الالتواء الداخلية
اتجاه TC مأخوذ موجبًا.
TBC = TC = 400 N·m
TAB = TC + TB = 400 + 400 = 800 N·m
التواء كل جزء
J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 800000·1200/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,009431 rad
φBC = 400000·2500/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,009824 rad
التواء الطرف C
φC = 0,009431 + 0,009824 = 0,01926 rad → |φC| = 1,103°
الإجابة
φC = 1,103°
5.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: τmax = 11,18 MPa
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
نصف قطر دائرة مور
τmax = R = √(((−40 − −50)/2)² + 10²) = 11,18 MPa
الإجابة
τmax = 11,18 MPa
6.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: σθ = 75,41 MPa
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
معادلة التحويل
σθ = 45 + −5·−0,1736 + 30·0,9848 = 75,41 MPa
الإجابة
σθ = 75,41 MPa
7.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: δ = 24,51 mm
قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).
الإجهاد
A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 115·1000/201,1 = 572 MPa
الانفعال (قانون هوك)
E for الألومنيوم = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 572/70000 = 0,008171 = 8171 µε
الاستطالة
δ = ε·L = 0,008171·3000 mm = 24,51 mm
الإجابة
δ = 24,51 mm
8.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: σ2 = 14,67 MPa
مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، Pi = P·EiAi/ΣEA، وσi = Ei·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.
الصلابات
k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm
k₂ = 70000·706,9/400 = 123700 N/mm
حصة المقطع 2
F2 = 40000·123700/477129 = 10370 N
الإجهاد
σ2 = 10370/706,9 = 14,67 MPa (ضغط)
الإجابة
σ2 = 14,67 MPa
9.انبعاج الأعمدة
الإجابة: Pcr = 2,159 kN
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
أصغر عزم قصور ذاتي
ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.
Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴
الطول الفعّال
KL = 2·2500 = 5000 mm
الحمل الحرج
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/5000² = 2159 N = 2,159 kN
الإجابة
Pcr = 2,159 kN
10.انبعاج الأعمدة
الإجابة: σcr = 11,99 MPa
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
أصغر عزم قصور ذاتي
للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
نصف قطر الدوران والنحافة
A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/6,25 = 240
الإجهاد الحرج
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11,99 MPa
الإجابة
σcr = 11,99 MPa
11.الاهتزازات الميكانيكية
الإجابة: fd = 12,17 Hz
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
التردد الطبيعي غير المخمَّد
ωn = √(100000/15) = 81,65 rad/s
fn = 81,65/(2π) = 12,99 Hz
التردد الطبيعي المخمَّد
fd = fn·√(1 − ζ²) = 12,99·√(1 − 0,35²) = 12,17 Hz
الإجابة
fd = 12,17 Hz
12.الاهتزازات الميكانيكية
الإجابة: keq = 11,54 kN/m
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
الجساءة المكافئة
النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/15 + 1/50 → keq = 15·50/(15 + 50) = 11,54 kN/m
الإجابة
keq = 11,54 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design