تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 5,5 kW يعمل بسرعة 1450 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 24 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 32 سنًّا. كفاءة زوج التروس 95%. أوجد العزم T₁ على عمود المحرك.

P = 5,5 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 24N₂ = 32η = 95%

T₁ = N·m

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قائدة قطرها 120 mm تدور بسرعة 720 rpm وبكرة قطرها 500 mm؛ والمسافة بين المركزين 1000 mm. معامل الاحتكاك 0,25 ولا يجوز أن يتجاوز الشد في الجانب المشدود 1500 N. أوجد أكبر قدرة P يستطيع السير نقلها دون انزلاق، بوحدة kW (أهمل أثر القوة الطاردة المركزية).

d₁ = 120 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 500 mmC = 1000 mmμ = 0,25T₁ = 1500 N

P = kW

3.التواء الأعمدةمتوسطة

في اختبار التواء، تُلوى عيّنة مصمتة قطرها 20 mm بعزم 100 N·m. يدور طرفا طول قياس مقداره 400 mm بزاوية 5,61° أحدهما بالنسبة إلى الآخر (المادة لا تزال مرنة). أوجد معامل القص G للمادة.

T = 100 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 5,61°

G = GPa

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مصمت 50 kW عند 3000 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 40 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.

P = 50 kWN = 3000 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 30 MPa و σᵧ = 50 MPa. إلى أيّ حد يمكن أن يكبر إجهاد القص τ_xy (مقداره) قبل أن يبلغ أكبر إجهاد رئيسي 100 MPa؟

σ_x = 30 MPaσ_y = 50 MPaσ₁ = 100 MPa

τ_xy = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = 0 MPa، σᵧ = 120 MPa و τₓᵧ = −30 MPa (σ_z = 0). إجهاد خضوع المادة 250 MPa. أوجد معامل الأمان n ضد الخضوع وفق معيار فون ميزس (طاقة التشوّه).

σ_x = 0 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −30 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 40 mm والطول 400 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من الألومنيوم (القطر 30 mm والطول 400 mm وE = 70 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,25 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: الألومنيوم, Ø30 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 120 kNالجزء 1: Ø25 mm، 0,5 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)الجزء 2: Ø16 mm، 0,5 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)

δ = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 5 kg على نابض جساءته 50 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,3. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 5 kgk = 50 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 20 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 5 kN/m و k₂ = 40 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 20 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₁ = 36,22 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/151,8 = 36,22 N·m

الإجابة

T₁ = 36,22 N·m

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 3,382 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

زاوية الالتفاف

θ = 2,759 rad

الشد في الجانب المرتخي

e^μθ = e^0,6898 = 1,993, T₂ = 1500/1,993 = 752,5 N

القدرة

P = (1500 − 752,5)·4,524 = 3,382 kW

الإجابة

P = 3,382 kW

3.التواء الأعمدة

الإجابة: G = 26,01 GPa

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي والزاوية

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 5,61·π/180 = 0,09791 rad

معامل القص

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·400/(15708·0,09791) = 26008 MPa

G = 26,01 GPa

الإجابة

G = 26,01 GPa

للمقارنة: الفولاذ ≈ 80 GPa، النحاس الأصفر ≈ 39 GPa، الألومنيوم ≈ 26 GPa.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 27,26 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 50000/314,2 = 159,2 N·m

القطر من الإجهاد المسموح

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·159155/(π·40)) = 27,26 mm

الإجابة

d = 27,26 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_xy = 59,16 MPa

نصف القطر المطلوب

C = (30 + 50)/2 = 40 MPa

R = σ₁ − C = 100 − 40 = 60 MPa

إجهاد القص

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(60² − 10²) = 59,16 MPa

الإجابة

τ_xy = 59,16 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: n = 1,912

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σ_Y؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σ_Y/2.

الإجهادات الرئيسية

C = 60 MPa, R = 67,08 MPa

σ₁ = 127,1 MPa, σ₂ = −7,082 MPa, σ₃ = 0

فون ميزس

σ_vM = √(127,1² − 127,1·(−7,082) + (−7,082)²) = 130,8 MPa

n = 250/130,8 = 1,912

الإجابة

n = 1,912

n > 1 يعني أن النقطة لا تخضع؛ وتريسكا أكثر تحفّظًا قليلًا من فون ميزس.

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 25,84 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·706,9) = 8,084 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,25/9,676 × 10⁻⁶ = 25838 N = 25,84 kN

الإجابة

P = 25,84 kN

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 4,73 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 244,5 MPa

σ₂ = 596,8 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 244,5·500/70000 = 1,746 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 596,8·500/100000 = 2,984 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,73 mm

الإجابة

δ = 4,73 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 62,18 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/1000² = 62179 N = 62,18 kN

الإجابة

P_cr = 62,18 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 26,99 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

KL/r = 1000/6,25 = 160

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

الإجابة

σ_cr = 26,99 MPa

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 15,18 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(50000/5) = 100 rad/s

f_n = 100/(2π) = 15,92 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 15,92·√(1 − 0,3²) = 15,18 Hz

الإجابة

f_d = 15,18 Hz

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 7,549 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 40 = 45 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(45000/20) = 47,43 rad/s

f_n = 47,43/(2π) = 7,549 Hz

الإجابة

f_n = 7,549 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design