تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

عمودان متوازيان المسافة بينهما 187,5 mm. يجب وصلهما بزوج من التروس المستقيمة بموديول 3 mm وتخفيض سرعة 4 : 1. كم سنًّا N₁ يجب أن يكون للترس الصغير؟

a = 187,5 mmm = 3 mmi = 4

N₁ =

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (20 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 2900 rpm الترسَ B (72 سنًّا). الترس C (15 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (40 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 2900 rpmA = 20B = 72C = 15D = 40

n_out = rpm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من النحاس الأصفر مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 500 N·md = 50 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الألومنيوم قطره 60 mm مثبَّت عند A. يؤثّر عزم التواء 750 N·m عند B على بعد 2 m من A، ويؤثّر عزم التواء 1000 N·m في الاتجاه نفسه عند الطرف الحر C، على بعد 0,5 m إضافية. أوجد مقدار زاوية التواء الطرف C φ_C بالدرجات.

d = 60 mmT_B = 750 N·mT_C = 1000 N·mAB = 2 mBC = 0,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 140 MPa و σᵧ = 0 MPa و τₓᵧ = 20 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

σ_x = 140 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = −30 MPa، σᵧ = −80 MPa و τₓᵧ = −30 MPa (σ_z = 0). أوجد الإجهاد المكافئ وفق فون ميزس σ_vM.

σ_x = −30 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −30 MPa

σ_vM = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 20 mm والطول 500 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من البرونز (القطر 40 mm والطول 200 mm وE = 110 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,25 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: البرونز, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 40 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 200 MPa) داخل أنبوب من البرونز (القطر الخارجي 120 mm والقطر الداخلي 50 mm وE = 110 GPa والإجهاد المسموح 60 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaالأنبوب: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. يجب أن يحمل 20 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 20 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 30 mm بعد دورة واحدة قمةٌ مقدارها 23,3 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 30 mmx₁ = 23,3 mmn = 1

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 25 kg معلّقة بالنابض k₃ = 10 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 15 kN/m و k₂ = 15 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 25 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: N₁ = 25

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

العدد الكلي للأسنان

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·187,5/3 = 125

قسّم وفق النسبة

N₁ = 125/(1 + 4) = 25

الإجابة

N₁ = 25

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 302,1 rpm

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

المرحلة الأولى

n_B = 2900·20/72 = 805,6 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 805,6·15/40 = 302,1 rpm

الإجابة

n_out = 302,1 rpm

النسبة الكلية = 9,6 : 1

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 2,394 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2000/(39000·613592) = 0,04179 rad

φ = 0,04179·180/π = 2,394°

الإجابة

φ = 2,394°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: φ_C = 6,928 °

عزوم الالتواء الداخلية

اتجاه T_C مأخوذ موجبًا.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C + T_B = 1000 + 750 = 1750 N·m

التواء كل جزء

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 1,75 × 10⁶·2000/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,1058 rad

φ_BC = 1 × 10⁶·500/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,01511 rad

التواء الطرف C

φ_C = 0,1058 + 0,01511 = 0,1209 rad → |φ_C| = 6,928°

الإجابة

φ_C = 6,928°

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 72,8 MPa

نصف قطر دائرة مور

τ_max = R = √(((140 − 0)/2)² + 20²) = 72,8 MPa

الإجابة

τ_max = 72,8 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_vM = 87,18 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σ_Y؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σ_Y/2.

الإجهادات الرئيسية

C = −55 MPa, R = 39,05 MPa

σ₁ = −15,95 MPa, σ₂ = −94,05 MPa, σ₃ = 0

فون ميزس

σ_vM = √((−15,95)² − (−15,95)·(−94,05) + (−94,05)²) = 87,18 MPa

الإجابة

σ_vM = 87,18 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 26,58 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·1257) = 1,447 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,25/9,405 × 10⁻⁶ = 26583 N = 26,58 kN

الإجابة

P = 26,58 kN

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 697,9 kN

المساحات

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·9346 = 1,279 × 10⁹ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,001, 0,0005455) = 0,0005455 (البرونز)

أكبر حمل

P_max = 0,0005455·1,279 × 10⁹ = 697862 N = 697,9 kN

الإجابة

P_max = 697,9 kN

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 57,57 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/1250² = 57573 N = 57,57 kN

الإجابة

P_cr = 57,57 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 39,67 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 3·20000 = 60000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 39,67 mm

الإجابة

d = 39,67 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 201,7، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,04019

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/1)·ln(30/23,3) = 0,2527

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2527/√(39,48 + 0,06388) = 0,04019

الإجابة

ζ = 0,04019

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 2,757 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 15 + 15 = 30 kN/m

k_eq = 30·10/(30 + 10) = 7,5 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(7500/25) = 17,32 rad/s

f_n = 17,32/(2π) = 2,757 Hz

الإجابة

f_n = 2,757 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design