التروس ومجموعات التروس
- تروس متعشّقة
- n1·N1 = n2·N2
- العزم
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- القدرة
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- مجموعة تروس مركّبة
- النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل
تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
التواء الأعمدة
- إجهاد القص
- τ = T·r/J
- عمود مصمت
- J = πd⁴/32
- عمود مجوّف
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- زاوية الالتواء
- φ = TL/(GJ)
- القدرة
- P = T·ω = 2πnT/60
الطريقة
- أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
- إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
- زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
- إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.
دائرة مور وتحويل الإجهاد
- المركز
- C = (σx + σy)/2
- نصف القطر
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- الإجهادات الرئيسية
- σ1,2 = C ± R
- الاتجاه الرئيسي
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- مستوى مائل
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
الطريقة
- احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
- احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
- الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
الإجهاد والانفعال المحوري
- الإجهاد العمودي
- σ = F/A
- الانفعال
- ε = ΔL/L
- قانون هوك
- σ = E·ε
- الاستطالة
- ΔL = FL/(EA)
- الانفعال الحراري
- εT = α·ΔT
انبعاج الأعمدة
- حمل أويلر
- Pcr = π²EI/(KL)²
- معامل الطول الفعّال
- K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
- الإجهاد الحرج
- σcr = Pcr/A
- النحافة
- λ = KL/r, r = √(I/A)
الاهتزازات الميكانيكية
- التردد الطبيعي
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- من الانحراف الاستاتيكي
- ωn = √(g/δst)
- التخميد الحرج
- cc = 2√(km) = 2mωn
- نسبة التخميد
- ζ = c/cc
- التردد المخمَّد
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- التناقص اللوغاريتمي
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- نوابض على التوازي
- k = k1 + k2
- نوابض على التوالي
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2مسائل تدريبية
1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة
يمر سير على بكرة قائدة قطرها 100 mm تدور بسرعة 1450 rpm. الشد 1200 N في الجانب المشدود و300 N في الجانب المرتخي. أوجد القدرة P المنقولة بوحدة kW.
d1 = 100 mmn1 = 1450 rpmT1 = 1200 NT2 = 300 N
P = kW
2.التروس ومجموعات التروسصعبة
محرّك قدرته 2,2 kW بسرعة 1440 rpm يدير الترس A (16 سنًّا)، الذي يتعشّق مع الترس B (80 سنًّا). الترس C (16 سنًّا) على عمود B نفسه يدير الترس D (60 سنًّا) على عمود الخرج. كفاءة كل تعشيق 98%. أوجد عزم الخرج Tout.
P = 2,2 kWnin = 1440 rpmA = 16B = 80C = 16D = 60ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.التواء الأعمدةمتوسطة
عمود مصمت من الألومنيوم مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.
T = 100 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.التواء الأعمدةصعبة
عمود مجوّف ينقل 100 kW عند 1800 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τmax في العمود.
P = 100 kWN = 1800 rpmdo = 100 mmdi = 75 mm
τmax = MPa
5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة
نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = 0 MPa، σᵧ = 100 MPa و τₓᵧ = −50 MPa، مع σz = 0. أوجد أقصى إجهاد قص مطلق τabs عند النقطة (مع مراعاة كل المستويات في ثلاثة أبعاد).
σx = 0 MPaσy = 100 MPaτxy = −50 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة
نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 30 MPa و σᵧ = −30 MPa و τₓᵧ = −50 MPa (الشدّ موجب). أوجد إجهاد القص τθ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 30° باتجاه عقارب الساعة من المحور x (موجب في الاتجاه نفسه لـ τₓᵧ).
σx = 30 MPaσy = −30 MPaτxy = −50 MPaθ = -30°
τθ = MPa
7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة
قضيب من الفولاذ (القطر 20 mm وE = 200 GPa) داخل أنبوب من النحاس الأصفر (القطر الخارجي 120 mm والقطر الداخلي 60 mm وE = 100 GPa). طول كل منهما 600 mm، ويُضغطان معًا بين لوحين صلبين بقوة 200 kN. أوجد الانضغاط δ.
P = 200 kNالقضيب: Ø20 mm, E = 200 GPaالأنبوب: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 600 mm
δ = mm
8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة
مقطع الفولاذ (القطر 40 mm والطول 500 mm وE = 200 GPa) ومقطع من الألومنيوم (القطر 30 mm والطول 400 mm وE = 70 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 80 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ2 في المقطع 2.
المقطع 1: الفولاذ, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: الألومنيوم, Ø30 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
9.انبعاج الأعمدةمتوسطة
عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.
L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 20 mm
Pcr = kN
10.انبعاج الأعمدةصعبة
عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. يجب أن يحمل 115 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.
P = 115 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)
d = mm
11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة
كتلة 20 kg على نابض جساءته 2 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,3. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد fd لاهتزازها الحر بالـ Hz.
m = 20 kgk = 2 kN/mζ = 0,3
fd = Hz
12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة
كتلة 10 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 60 kN/m والسفلي k₂ = 5 kN/m. أوجد الجساءة المكافئة keq لنظام النوابض بالـ kN/m.
m = 10 kgk1 = 60 kN/mk2 = 5 kN/m
keq = kN/m
3المحاليل
1.التروس ومجموعات التروس
الإجابة: P = 6,833 kW
نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = eμθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.
سرعة السير
v = 7,592 m/s
القدرة
P = (1200 − 300)·7,592 = 6833 W = 6,833 kW
الإجابة
P = 6,833 kW
2.التروس ومجموعات التروس
الإجابة: Tout = 262,7 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
سرعة الخرج
nout = 1440·(16/80)·(16/60) = 76,8 rpm
ωout = 2π·76,8/60 = 8,042 rad/s
قدرة الخرج والعزم
Pout = 2200·0,98² = 2113 W
Tout = Pout/ωout = 2113/8,042 = 262,7 N·m
الإجابة
Tout = 262,7 N·m
3.التواء الأعمدة
الإجابة: φ = 1,315 °
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
عزم القصور القطبي
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
زاوية الالتواء
φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(26000·251327) = 0,02296 rad
φ = 0,02296·180/π = 1,315°
الإجابة
φ = 1,315°
4.التواء الأعمدة
الإجابة: τmax = 3,952 MPa
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
العزم
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 100000/188,5 = 530,5 N·m
عزم القصور القطبي
J = π(100⁴ − 75⁴)/32 = 6,711 × 10⁶ mm⁴
أقصى إجهاد قص
τmax = T·(do/2)/J = 530516·50/6,711 × 10⁶ = 3,952 MPa
الإجابة
τmax = 3,952 MPa
5.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: τabs = 70,71 MPa
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. في ثلاثة أبعاد، أقصى إجهاد قص مطلق هو (σmax − σmin)/2 على الإجهادات الرئيسية الثلاثة؛ وفي الإجهاد المستوي يكون الثالث صفرًا.
الإجهادان الرئيسيان في المستوى
C = 50 MPa, R = √((−50)² + (−50)²) = 70,71 MPa
σ1 = 120,7 MPa, σ2 = −20,71 MPa, σz = 0
أكبر الدوائر الثلاث
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(141,4, 120,7, 20,71)/2 = 70,71 MPa
الإجابة
τabs = 70,71 MPa
هنا σ₁ و σ₂ مختلفا الإشارة، لذا الحد الأقصى في المستوى R هو أيضًا الحد الأقصى المطلق.
6.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: τθ = 0,9808 MPa
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
معادلة التحويل
τθ = −30·−0,866 + −50·0,5 = 0,9808 MPa
الإجابة
τθ = 0,9808 MPa
7.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: δ = 0,1317 mm
مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، Pi = P·EiAi/ΣEA، وσi = Ei·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.
المساحات
Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²
الصلابة المحورية المشتركة
ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·8482 = 9,111 × 10⁸ N
الانضغاط
δ = 200000·600/9,111 × 10⁸ = 0,1317 mm
الإجابة
δ = 0,1317 mm
8.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: σ2 = 22,35 MPa
مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، Pi = P·EiAi/ΣEA، وσi = Ei·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.
الصلابات
k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm
k₂ = 70000·706,9/400 = 123700 N/mm
حصة المقطع 2
F2 = 80000·123700/626355 = 15799 N
الإجهاد
σ2 = 15799/706,9 = 22,35 MPa (ضغط)
الإجابة
σ2 = 22,35 MPa
9.انبعاج الأعمدة
الإجابة: Pcr = 15,5 kN
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
أصغر عزم قصور ذاتي
للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
الطول الفعّال
KL = 0,5·2000 = 1000 mm
الحمل الحرج
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1000² = 15503 N = 15,5 kN
الإجابة
Pcr = 15,5 kN
10.انبعاج الأعمدة
الإجابة: d = 83,01 mm
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
الحمل الحرج المطلوب
Pcr = n·P = 2,5·115000 = 287500 N
KL = 2·2000 = 4000 mm
حلّ لإيجاد القطر
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 83,01 mm
الإجابة
d = 83,01 mm
تحقّق: النحافة KL/r تساوي 192,8، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.
11.الاهتزازات الميكانيكية
الإجابة: fd = 1,518 Hz
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
التردد الطبيعي غير المخمَّد
ωn = √(2000/20) = 10 rad/s
fn = 10/(2π) = 1,592 Hz
التردد الطبيعي المخمَّد
fd = fn·√(1 − ζ²) = 1,592·√(1 − 0,3²) = 1,518 Hz
الإجابة
fd = 1,518 Hz
12.الاهتزازات الميكانيكية
الإجابة: keq = 4,615 kN/m
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
الجساءة المكافئة
النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/60 + 1/5 → keq = 60·5/(60 + 5) = 4,615 kN/m
الإجابة
keq = 4,615 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design