تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 1,5 kW يعمل بسرعة 2900 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 16 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 60 سنًّا. أهمل الفواقد. أوجد عزم الخرج T₂ على عمود الترس.

P = 1,5 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 16N₂ = 60η = 100%

T₂ = N·m

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

محرّك قدرته 2,2 kW بسرعة 2900 rpm يدير الترس A (12 سنًّا)، الذي يتعشّق مع الترس B (40 سنًّا). الترس C (18 سنًّا) على عمود B نفسه يدير الترس D (24 سنًّا) على عمود الخرج. كفاءة كل تعشيق 95%. أوجد عزم الخرج T_out.

P = 2,2 kWn_in = 2900 rpmA = 12B = 40C = 18D = 24η_mesh = 95%

T_out = N·m

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت مدرَّج من الفولاذ مثبَّت عند A. الجزء AB قطره 30 mm وطوله 0,5 m؛ والجزء BC قطره 20 mm وطوله 2 m. يؤثّر عزم التواء 200 N·m عند الطرف الحر C. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

T = 200 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 20 mm, L₂ = 2 m

τ_max = MPa

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من النحاس الأصفر قطره 40 mm مثبَّت في جدارين صلبين عند طرفيه A و B. يؤثّر عزم التواء 200 N·m عند C، على بعد 2 m من A و 0,5 m من B. أوجد زاوية دوران المقطع C φ_C بالدرجات.

d = 40 mmT₀ = 200 N·ma = 2 mb = 0,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 50 MPa، σᵧ = 20 MPa و τₓᵧ = 10 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 40° عكس عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σ_y′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.

σ_x = 50 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 40 MPa و σᵧ = −30 MPa و τₓᵧ = −10 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 45° عكس عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = 40 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 30 mm والطول 500 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من الألومنيوم (القطر 40 mm والطول 300 mm وE = 70 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,5 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: الألومنيوم, Ø40 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

مقطع الفولاذ (القطر 20 mm والطول 400 mm وE = 200 GPa) ومقطع من الألومنيوم (القطر 30 mm والطول 200 mm وE = 70 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 100 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ₂ في المقطع 2.

المقطع 1: الفولاذ, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: الألومنيوم, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. يجب أن يحمل 20 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 20 kNn = 2,5L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

d = mm

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 20 mm بعد 4 دورات قمةٌ مقدارها 12,1 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 20 mmx₄ = 12,1 mmn = 4

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 50 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 20 kN/m و k₂ = 80 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 50 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₂ = 18,52 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/303,7 = 4,939 N·m

عزم الخرج

T₂ = 4,939·60/16·1 = 18,52 N·m

الإجابة

T₂ = 18,52 N·m

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T_out = 29,06 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

سرعة الخرج

n_out = 2900·(12/40)·(18/24) = 652,5 rpm

ω_out = 2π·652,5/60 = 68,33 rad/s

قدرة الخرج والعزم

P_out = 2200·0,95² = 1986 W

T_out = P_out/ω_out = 1986/68,33 = 29,06 N·m

الإجابة

T_out = 29,06 N·m

3.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 127,3 MPa

الإجهاد في كل جزء

T = 200 N·m = 200000 N·mm

τ_AB = 16·200000/(π·30³) = 37,73 MPa

τ_BC = 16·200000/(π·20³) = 127,3 MPa

الإجابة

τ_max = 127,3 MPa

4.التواء الأعمدة

الإجابة: φ_C = 0,4676 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω. عندما يكون الطرفان مثبَّتين، يعطي علم السكون وحده T_A + T_B = T₀ فقط؛ والمعادلة الثانية هي التوافق (تساوي التواء الجزأين عند المقطع المحمَّل).

الاتزان والتوافق

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·0,5/2,5 = 40 N·m

T_B = 200·2/2,5 = 160 N·m

دوران C

استخدم الجزء AC: إنه مثبَّت عند A ويحمل T_A.

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 40000·2000/(39000·251327) = 0,008162 rad = 0,4676°

الإجابة

φ_C = 0,4676°

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_y′ = 22,55 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

معادلة التحويل للوجه y′

σ_y′ = 35 − 15·0,1736 − 10·0,9848 = 22,55 MPa

تحقّق

مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.

σ_x′ = 47,45 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 70 = σ_x + σ_y

الإجابة

σ_y′ = 22,55 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = −5 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = 5 + 35·0 + −10·1 = −5 MPa

الإجابة

σ_θ = −5 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 71,97 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1257 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·1257) = 3,41 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,5/6,947 × 10⁻⁶ = 71971 N = 71,97 kN

الإجابة

P = 71,97 kN

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ₂ = 86,53 MPa

الصلابات

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 70000·706,9/200 = 247400 N/mm

حصة المقطع 2

F₂ = 100000·247400/404480 = 61165 N

الإجهاد

σ₂ = 61165/706,9 = 86,53 MPa (ضغط)

الإجابة

σ₂ = 86,53 MPa

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 14,28 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·1500 = 3000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/3000² = 14279 N = 14,28 kN

الإجابة

P_cr = 14,28 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 41,23 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2,5·20000 = 50000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 41,23 mm

الإجابة

d = 41,23 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 135,8، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,01999

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/4)·ln(20/12,1) = 0,1256

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1256/√(39,48 + 0,01578) = 0,01999

الإجابة

ζ = 0,01999

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 100 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 20 + 80 = 100 kN/m

الإجابة

k_eq = 100 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design