تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 11 kW يعمل بسرعة 960 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 36 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 50 سنًّا. كفاءة زوج التروس 98%. أوجد عزم الخرج T₂ على عمود الترس.

P = 11 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 36N₂ = 50η = 98%

T₂ = N·m

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (30 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 3000 rpm الترسَ B (60 سنًّا). الترس C (30 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (72 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 3000 rpmA = 30B = 60C = 30D = 72

n_out = rpm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

يجب أن يحمل عمود مجوّف عزم التواء 400 N·m. يُراد أن يكون قطره الداخلي 0,75 مرة من قطره الخارجي، ويجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 60 MPa. أوجد أصغر قطر خارجي d_o.

T = 400 N·md_i/d_o = 0,75τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 75 kW عند 1450 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 75 kWN = 1450 rpmd_o = 80 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = 100 MPa، σᵧ = 60 MPa و τₓᵧ = 60 MPa، مع σ_z = 0. أوجد أقصى إجهاد قص مطلق τ_abs عند النقطة (مع مراعاة كل المستويات في ثلاثة أبعاد).

σ_x = 100 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

عمود مصمت قطره 30 mm يحمل عزم انحناء مقداره 300 N·m مع عزم التواء 400 N·m. عند السطح العلوي، حيث يكون إجهاد الانحناء شدًّا وأكبر ما يمكن، أوجد أكبر إجهاد رئيسي σ₁.

d = 30 mmM = 300 N·mT = 400 N·m

σ₁ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 20 mm والطول 400 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من النحاس (القطر 40 mm والطول 300 mm وE = 120 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,4 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: النحاس, Ø40 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 80 kNالجزء 1: Ø25 mm، 1 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)الجزء 2: Ø12 mm، 2 m، الفولاذ (E = 200 GPa)

δ = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. يجب أن يحمل 145 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 145 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 25 kg على نابض جساءته 8 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,35. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 25 kgk = 8 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 50 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 30 kN/m والسفلي k₂ = 50 kN/m. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 50 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₂ = 148,9 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/100,5 = 109,4 N·m

عزم الخرج

T₂ = 109,4·50/36·0,98 = 148,9 N·m

الإجابة

T₂ = 148,9 N·m

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 625 rpm

المرحلة الأولى

n_B = 3000·30/60 = 1500 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 1500·30/72 = 625 rpm

الإجابة

n_out = 625 rpm

النسبة الكلية = 4,8 : 1

3.التواء الأعمدة

الإجابة: d_o = 36,76 mm

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

القطر الخارجي من الإجهاد المسموح

T = 400 N·m = 400000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·60·0,6836)) = 36,76 mm

d_i = 0,75·36,76 = 27,57 mm

الإجابة

d_o = 36,76 mm

العمود المصمت يحتاج إلى d = 32,38 mm؛ والمجوّف أكبر قليلًا لكنه أخفّ بكثير.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 5,241 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 75000/151,8 = 493,9 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(80⁴ − 40⁴)/32 = 3,77 × 10⁶ mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 493929·40/3,77 × 10⁶ = 5,241 MPa

الإجابة

τ_max = 5,241 MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_abs = 71,62 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. في ثلاثة أبعاد، أقصى إجهاد قص مطلق هو (σ_max − σ_min)/2 على الإجهادات الرئيسية الثلاثة؛ وفي الإجهاد المستوي يكون الثالث صفرًا.

الإجهادان الرئيسيان في المستوى

C = 80 MPa, R = √(20² + 60²) = 63,25 MPa

σ₁ = 143,2 MPa, σ₂ = 16,75 MPa, σ_z = 0

أكبر الدوائر الثلاث

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(126,5, 143,2, 16,75)/2 = 71,62 MPa

الإجابة

τ_abs = 71,62 MPa

هنا تحكم الدائرة خارج المستوى: الحد الأقصى المطلق أكبر من الحد الأقصى في المستوى R.

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ₁ = 150,9 MPa

الإجهادات عند السطح

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·30³) = 113,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·30³) = 75,45 MPa

دائرة مور

C = σ/2 = 56,59 MPa

R = √(56,59² + 75,45²) = 94,31 MPa

σ₁ = C + R = 150,9 MPa

σ₂ = C − R = −37,73 MPa

الإجابة

σ₁ = 150,9 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 47,87 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314,2) = 6,366 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,4/8,356 × 10⁻⁶ = 47872 N = 47,87 kN

الإجابة

P = 47,87 kN

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 9,402 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 163 MPa

σ₂ = 707,4 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 163·1000/70000 = 2,328 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 707,4·2000/200000 = 7,074 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 9,402 mm

الإجابة

δ = 9,402 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 38,55 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·2000 = 2000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/2000² = 38553 N = 38,55 kN

الإجابة

P_cr = 38,55 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 83,19 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2·145000 = 290000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·290000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 83,19 mm

الإجابة

d = 83,19 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 192,3، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 2,667 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(8000/25) = 17,89 rad/s

f_n = 17,89/(2π) = 2,847 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,847·√(1 − 0,35²) = 2,667 Hz

الإجابة

f_d = 2,667 Hz

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 18,75 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/30 + 1/50 → k_eq = 30·50/(30 + 50) = 18,75 kN/m

الإجابة

k_eq = 18,75 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design