التروس ومجموعات التروس
- تروس متعشّقة
- n1·N1 = n2·N2
- العزم
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- القدرة
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- مجموعة تروس مركّبة
- النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل
تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
التواء الأعمدة
- إجهاد القص
- τ = T·r/J
- عمود مصمت
- J = πd⁴/32
- عمود مجوّف
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- زاوية الالتواء
- φ = TL/(GJ)
- القدرة
- P = T·ω = 2πnT/60
الطريقة
- أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
- إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
- زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
- إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.
دائرة مور وتحويل الإجهاد
- المركز
- C = (σx + σy)/2
- نصف القطر
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- الإجهادات الرئيسية
- σ1,2 = C ± R
- الاتجاه الرئيسي
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- مستوى مائل
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
الطريقة
- احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
- احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
- الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
الإجهاد والانفعال المحوري
- الإجهاد العمودي
- σ = F/A
- الانفعال
- ε = ΔL/L
- قانون هوك
- σ = E·ε
- الاستطالة
- ΔL = FL/(EA)
- الانفعال الحراري
- εT = α·ΔT
انبعاج الأعمدة
- حمل أويلر
- Pcr = π²EI/(KL)²
- معامل الطول الفعّال
- K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
- الإجهاد الحرج
- σcr = Pcr/A
- النحافة
- λ = KL/r, r = √(I/A)
الاهتزازات الميكانيكية
- التردد الطبيعي
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- من الانحراف الاستاتيكي
- ωn = √(g/δst)
- التخميد الحرج
- cc = 2√(km) = 2mωn
- نسبة التخميد
- ζ = c/cc
- التردد المخمَّد
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- التناقص اللوغاريتمي
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- نوابض على التوازي
- k = k1 + k2
- نوابض على التوالي
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2مسائل تدريبية
1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة
محرّك قدرته 3 kW يعمل بسرعة 1440 rpm يدير ترسًا صغيرًا له 30 سنًّا وموديول 4 mm. أوجد القوة المماسية Ft على أسنان الترس الصغير.
P = 3 kWn = 1440 rpmN1 = 30m = 4 mm
Ft = N
2.التروس ومجموعات التروسصعبة
محرّك قدرته 1,1 kW بسرعة 1440 rpm يدير الترس A (32 سنًّا)، الذي يتعشّق مع الترس B (36 سنًّا). الترس C (30 سنًّا) على عمود B نفسه يدير الترس D (32 سنًّا) على عمود الخرج. كفاءة كل تعشيق 95%. أوجد عزم الخرج Tout.
P = 1,1 kWnin = 1440 rpmA = 32B = 36C = 30D = 32ηmesh = 95%
Tout = N·m
3.التواء الأعمدةمتوسطة
عمود مصمت من الألومنيوم مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.
T = 750 N·md = 50 mmL = 3 mG = 26 GPa
φ = °
4.التواء الأعمدةصعبة
عمود مصمت من الألومنيوم قطره 25 mm مثبَّت عند A. يؤثّر عزم التواء 750 N·m عند B على بعد 0,5 m من A، ويؤثّر عزم التواء 100 N·m في الاتجاه المعاكس عند الطرف الحر C، على بعد 0,5 m إضافية. أوجد أقصى إجهاد قص τmax في العمود.
d = 25 mmTB = 750 N·mTC = 100 N·mAB = 0,5 mBC = 0,5 m
τmax = MPa
5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة
نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 10 MPa و σᵧ = 110 MPa و τₓᵧ = 60 MPa (الشدّ موجب). أوجد الزاوية θp من المحور x إلى اتجاه أكبر إجهاد رئيسي، بين −90° و 90°.
σx = 10 MPaσy = 110 MPaτxy = 60 MPa
θp = °
6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة
عمود مصمت قطره 40 mm يحمل قوة شد محورية مقدارها 30 kN مع عزم التواء 1500 N·m. عند سطح العمود، أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τmax.
d = 40 mmF = 30 kNT = 1500 N·m
τmax = MPa
7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة
أوجد استطالة δ قضيب الألومنيوم تحت الحمل المحوري.
P = 85 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 70 GPa
δ = mm
8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة
مقطع الفولاذ (القطر 20 mm والطول 400 mm وE = 200 GPa) ومقطع من الألومنيوم (القطر 30 mm والطول 300 mm وE = 70 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 100 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ2 في المقطع 2.
المقطع 1: الفولاذ, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: الألومنيوم, Ø30 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
9.انبعاج الأعمدةمتوسطة
عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.
L = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.انبعاج الأعمدةصعبة
عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. يجب أن يحمل 20 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.
P = 20 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)
d = mm
11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة
كتلة 15 kg على نابض جساءته 20 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,45. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد fd لاهتزازها الحر بالـ Hz.
m = 15 kgk = 20 kN/mζ = 0,45
fd = Hz
12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة
كتلة 100 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 15 kN/m والسفلي k₂ = 40 kN/m. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي fn للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.
m = 100 kgk1 = 15 kN/mk2 = 40 kN/m
fn = Hz
3المحاليل
1.التروس ومجموعات التروس
الإجابة: Ft = 331,6 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
العزم على الترس الصغير
ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s
T = P/ω = 3000/150,8 = 19,89 N·m
قطر الخطوة
d = m·N = 4·30 = 120 mm
القوة المماسية
Ft = 2T/d = 2·19,89/0,12 = 331,6 N
الإجابة
Ft = 331,6 N
2.التروس ومجموعات التروس
الإجابة: Tout = 7,9 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
سرعة الخرج
nout = 1440·(32/36)·(30/32) = 1200 rpm
ωout = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s
قدرة الخرج والعزم
Pout = 1100·0,95² = 992,8 W
Tout = Pout/ωout = 992,8/125,7 = 7,9 N·m
الإجابة
Tout = 7,9 N·m
3.التواء الأعمدة
الإجابة: φ = 8,081 °
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
عزم القصور القطبي
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
زاوية الالتواء
φ = TL/(GJ) = 750·1000·3000/(26000·613592) = 0,141 rad
φ = 0,141·180/π = 8,081°
الإجابة
φ = 8,081°
4.التواء الأعمدة
الإجابة: τmax = 211,9 MPa
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
عزوم الالتواء الداخلية
اتجاه TC مأخوذ موجبًا.
TBC = TC = 100 N·m
TAB = TC − TB = 100 − 750 = −650 N·m
أقصى إجهاد قص
الجزء ذو أكبر عزم داخلي له أكبر إجهاد (القطر نفسه).
|T|max = 650 N·m
τmax = 16·650000/(π·25³) = 211,9 MPa
الإجابة
τmax = 211,9 MPa
5.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: θp = 64,9 °
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزاوية على الدائرة
تقع النقطة x على دائرة مور بزاوية 2θp من المحور σ؛ ويُحدَّد الربع من إشارتي σₓ − σᵧ و τₓᵧ.
2θp = atan2(2·60, 10 − 110) = 129,8°
الزاوية على العنصر
θp = 64,9°
الإجابة
θp = 64,9°
الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.
6.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: τmax = 120 MPa
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الإجهادات عند السطح
σ = F/A = 30000/(π·40²/4) = 30000/1257 = 23,87 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·40³) = 119,4 MPa
دائرة مور
C = σ/2 = 11,94 MPa
R = √(11,94² + 119,4²) = 120 MPa
الإجابة
τmax = 120 MPa
7.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: δ = 0,8589 mm
قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).
الإجهاد
A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 85·1000/706,9 = 120,3 MPa
الانفعال (قانون هوك)
E for الألومنيوم = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 120,3/70000 = 0,001718 = 1718 µε
الاستطالة
δ = ε·L = 0,001718·500 mm = 0,8589 mm
الإجابة
δ = 0,8589 mm
8.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: σ2 = 72,46 MPa
مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، Pi = P·EiAi/ΣEA، وσi = Ei·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.
الصلابات
k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm
k₂ = 70000·706,9/300 = 164934 N/mm
حصة المقطع 2
F2 = 100000·164934/322013 = 51220 N
الإجهاد
σ2 = 51220/706,9 = 72,46 MPa (ضغط)
الإجابة
σ2 = 72,46 MPa
9.انبعاج الأعمدة
الإجابة: Pcr = 39,48 kN
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
أصغر عزم قصور ذاتي
ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.
Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴
الطول الفعّال
KL = 0,5·6000 = 3000 mm
الحمل الحرج
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/3000² = 39478 N = 39,48 kN
الإجابة
Pcr = 39,48 kN
10.انبعاج الأعمدة
الإجابة: d = 57,08 mm
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
الحمل الحرج المطلوب
Pcr = n·P = 2·20000 = 40000 N
KL = 0,5·6000 = 3000 mm
حلّ لإيجاد القطر
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·40000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 57,08 mm
الإجابة
d = 57,08 mm
تحقّق: النحافة KL/r تساوي 210,2، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.
11.الاهتزازات الميكانيكية
الإجابة: fd = 5,19 Hz
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
التردد الطبيعي غير المخمَّد
ωn = √(20000/15) = 36,51 rad/s
fn = 36,51/(2π) = 5,812 Hz
التردد الطبيعي المخمَّد
fd = fn·√(1 − ζ²) = 5,812·√(1 − 0,45²) = 5,19 Hz
الإجابة
fd = 5,19 Hz
12.الاهتزازات الميكانيكية
الإجابة: fn = 1,662 Hz
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
الجساءة المكافئة
النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/15 + 1/40 → keq = 15·40/(15 + 40) = 10,91 kN/m
التردد الطبيعي
ωn = √(10909/100) = 10,44 rad/s
fn = 10,44/(2π) = 1,662 Hz
الإجابة
fn = 1,662 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design