تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 1,1 kW يعمل بسرعة 1440 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 15 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 45 سنًّا. كفاءة زوج التروس 98%. أوجد العزم T₁ على عمود المحرك.

P = 1,1 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 15N₂ = 45η = 98%

T₁ = N·m

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (12 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 3000 rpm الترسَ B (50 سنًّا). الترس C (45 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (48 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 3000 rpmA = 12B = 50C = 45D = 48

n_out = rpm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مجوّف من النحاس الأصفر (قطره الخارجي 40 mm، وقطره الداخلي 20 mm، وطوله 1 m) مثبَّت عند أحد طرفيه ويُلوى بعزم 2000 N·m عند الطرف الآخر. أوجد زاوية الالتواء φ بالدرجات.

T = 2000 N·md_o = 40 mmd_i = 20 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الألومنيوم قطره 40 mm مثبَّت عند A. يؤثّر عزم التواء 100 N·m عند B على بعد 0,8 m من A، ويؤثّر عزم التواء 500 N·m في الاتجاه المعاكس عند الطرف الحر C، على بعد 0,5 m إضافية. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

d = 40 mmT_B = 100 N·mT_C = 500 N·mAB = 0,8 mBC = 0,5 m

τ_max = MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 70 MPa و σᵧ = 80 MPa. إلى أيّ حد يمكن أن يكبر إجهاد القص τ_xy (مقداره) قبل أن يبلغ أكبر إجهاد رئيسي 125 MPa؟

σ_x = 70 MPaσ_y = 80 MPaσ₁ = 125 MPa

τ_xy = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

خزان أسطواني رقيق الجدار قطره الداخلي 800 mm وسُمك جداره 15 mm يحتوي غازًا عند ضغط مقيس 2 MPa. وهو مصنوع من لوح ملحوم على طول درز حلزوني يميل بزاوية 55° عن محور الأسطوانة. أوجد الإجهاد العمودي σ_n المؤثّر عبر درز اللحام.

D = 800 mmt = 15 mmp = 2 MPaα = 55°

σ_n = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 25 mm والطول 500 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من الألومنيوم (القطر 60 mm والطول 400 mm وE = 70 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,25 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: الألومنيوم, Ø60 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 40 kNالجزء 1: Ø40 mm، 1 m، النحاس (E = 117 GPa)الجزء 2: Ø12 mm، 1,5 m، النحاس (E = 117 GPa)

δ = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 60 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. يجب أن يحمل 130 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 130 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 30 mm بعد 2 دورات قمةٌ مقدارها 16 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 30 mmx₂ = 16 mmn = 2

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 20 kg معلّقة بالنابض k₃ = 12 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 80 kN/m و k₂ = 30 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 20 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₁ = 7,295 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/150,8 = 7,295 N·m

الإجابة

T₁ = 7,295 N·m

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 675 rpm

المرحلة الأولى

n_B = 3000·12/50 = 720 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 720·45/48 = 675 rpm

الإجابة

n_out = 675 rpm

النسبة الكلية = 4,444 : 1

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 12,47 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

زاوية الالتواء

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·1000/(39000·235619) = 0,2176 rad

φ = 0,2176·180/π = 12,47°

الإجابة

φ = 12,47°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 39,79 MPa

عزوم الالتواء الداخلية

اتجاه T_C مأخوذ موجبًا.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 500 − 100 = 400 N·m

أقصى إجهاد قص

الجزء ذو أكبر عزم داخلي له أكبر إجهاد (القطر نفسه).

|T|_max = 500 N·m

τ_max = 16·500000/(π·40³) = 39,79 MPa

الإجابة

τ_max = 39,79 MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_xy = 49,75 MPa

نصف القطر المطلوب

C = (70 + 80)/2 = 75 MPa

R = σ₁ − C = 125 − 75 = 50 MPa

إجهاد القص

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(50² − 5²) = 49,75 MPa

الإجابة

τ_xy = 49,75 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_n = 35,44 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. الأسطوانة الرقيقة الجدار: الإجهاد المحيطي σ_h = pr/t والإجهاد المحوري σ_a = pr/(2t)؛ وهما الإجهادان الرئيسيان في الجدار.

إجهادات الجدار

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 2·400/15 = 53,33 MPa

σ_a = pr/(2t) = 26,67 MPa

التحويل إلى الدرز

خذ x على امتداد المحور (σ_a) و y على امتداد المحيط (σ_h). العمودي على الدرز يصنع 90° − α مع المحور.

σ_n = 26,67·sin²55° + 53,33·cos²55° = 35,44 MPa

الإجابة

σ_n = 35,44 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 35,14 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 2827 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490,9) = 5,093 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·2827) = 2,021 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,25/7,114 × 10⁻⁶ = 35142 N = 35,14 kN

الإجابة

P = 35,14 kN

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 4,806 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 31,83 MPa

σ₂ = 353,7 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 31,83·1000/117000 = 0,2721 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 353,7·1500/117000 = 4,534 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,806 mm

الإجابة

δ = 4,806 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 109,9 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·2000 = 2000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2000² = 109878 N = 109,9 kN

الإجابة

P_cr = 109,9 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 53 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 3·130000 = 390000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·390000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 53 mm

الإجابة

d = 53 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 105,7، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,04996

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/2)·ln(30/16) = 0,3143

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3143/√(39,48 + 0,09879) = 0,04996

الإجابة

ζ = 0,04996

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 3,702 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 80 + 30 = 110 kN/m

k_eq = 110·12/(110 + 12) = 10,82 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(10820/20) = 23,26 rad/s

f_n = 23,26/(2π) = 3,702 Hz

الإجابة

f_n = 3,702 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design