تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 1,1 kW يعمل بسرعة 960 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 32 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 48 سنًّا. كفاءة زوج التروس 96%. أوجد العزم T₁ على عمود المحرك.

P = 1,1 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 32N₂ = 48η = 96%

T₁ = N·m

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدور الترس A (15 سنًّا) على عمود الدخل بسرعة 1440 rpm ويدير الترس B (60 سنًّا). الترس C (20 سنًّا) مثبَّت على عمود B نفسه ويدير الترس D على عمود الخرج. يجب أن يدور الخرج بسرعة 144 rpm. كم سنًّا N_D يجب أن يكون للترس D؟

n_in = 1440 rpmA = 15B = 60C = 20n_out = 144 rpm

N_D =

3.التواء الأعمدةمتوسطة

يجب أن يحمل عمود مجوّف عزم التواء 100 N·m. يُراد أن يكون قطره الداخلي 0,8 مرة من قطره الخارجي، ويجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 60 MPa. أوجد أصغر قطر خارجي d_o.

T = 100 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الفولاذ ينقل 10 kW بسرعة 750 rpm. يجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 60 MPa وألّا يتجاوز الالتواء 0,75° لكل m من الطول. أوجد أصغر قطر d يحقّق الحدّين كليهما.

P = 10 kWN = 750 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 80 GPa

d = mm

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 140 MPa و σᵧ = −10 MPa. إلى أيّ حد يمكن أن يكبر إجهاد القص τ_xy (مقداره) قبل أن يبلغ أكبر إجهاد رئيسي 195 MPa؟

σ_x = 140 MPaσ_y = −10 MPaσ₁ = 195 MPa

τ_xy = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −20 MPa و σᵧ = 50 MPa و τₓᵧ = 50 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 60° عكس عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = −20 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب الفولاذ، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 110 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

ε = µε

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σ_max في القضيب.

P = 45 kNالجزء 1: Ø35 mm، 0,5 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)الجزء 2: Ø12 mm، 2 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 1 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 15 mm بعد 5 دورات قمةٌ مقدارها 0,6 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 15 mmx₅ = 0,6 mmn = 5

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 100 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 50 kN/m والسفلي k₂ = 60 kN/m. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 100 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₁ = 10,94 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/100,5 = 10,94 N·m

الإجابة

T₁ = 10,94 N·m

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: N_D = 50

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

سرعة العمود الوسيط

n_B = n_C = 1440·15/60 = 360 rpm

أسنان الترس D

N_D = C·n_C/n_out = 20·360/144 = 50

الإجابة

N_D = 50

3.التواء الأعمدة

الإجابة: d_o = 24,32 mm

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

القطر الخارجي من الإجهاد المسموح

T = 100 N·m = 100000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·60·0,5904)) = 24,32 mm

d_i = 0,8·24,32 = 19,45 mm

الإجابة

d_o = 24,32 mm

العمود المصمت يحتاج إلى d = 20,4 mm؛ والمجوّف أكبر قليلًا لكنه أخفّ بكثير.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 33,36 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

القطر وفق المقاومة

T = 127,3 N·m = 127324 N·mm

d_τ = ∛(16·127324/(π·60)) = 22,11 mm

القطر وفق الجساءة

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·127324/(π·80000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 33,36 mm

القطر الحاكم

يجب تحقيق الحدّين كليهما، لذا يحكم القطر الأكبر.

d = max(22,11, 33,36) = 33,36 mm

الإجابة

d = 33,36 mm

هنا تحكم الجساءة.

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_xy = 106,2 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

نصف القطر المطلوب

C = (140 + (−10))/2 = 65 MPa

R = σ₁ − C = 195 − 65 = 130 MPa

إجهاد القص

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(130² − 75²) = 106,2 MPa

الإجابة

τ_xy = 106,2 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = 75,8 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = 15 + −35·−0,5 + 50·0,866 = 75,8 MPa

الإجابة

σ_θ = 75,8 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 4863 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 110·1000/113,1 = 972,6 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الفولاذ = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 972,6/200000 = 0,004863 = 4863 µε

الإجابة

ε = 4863 µε

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ_max = 397,9 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 46,77 MPa

σ₂ = 397,9 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σ_max = 397,9 MPa

الإجابة

σ_max = 397,9 MPa

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 3,672 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/3500² = 3672 N = 3,672 kN

الإجابة

P_cr = 3,672 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 27,76 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7,5 = 266,7

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

الإجابة

σ_cr = 27,76 MPa

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,1019

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/5)·ln(15/0,6) = 0,6438

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6438/√(39,48 + 0,4144) = 0,1019

الإجابة

ζ = 0,1019

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 27,27 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/50 + 1/60 → k_eq = 50·60/(50 + 60) = 27,27 kN/m

الإجابة

k_eq = 27,27 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design