تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

يمر سير على بكرة قائدة قطرها 200 mm تدور بسرعة 1500 rpm. الشد 400 N في الجانب المشدود و200 N في الجانب المرتخي. أوجد القدرة P المنقولة بوحدة kW.

d₁ = 200 mmn₁ = 1500 rpmT₁ = 400 NT₂ = 200 N

P = kW

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس كوكبية للترس الشمسي 15 سنًّا ولكل ترس كوكبي 30 سنًّا. الترس الحلقي مثبَّت والترس الشمسي يُدار بسرعة 1800 rpm. أوجد سرعة الحامل الكوكبي n_c.

N_s = 15N_p = 30n_s = 1800 rpm

n_c = rpm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الألومنيوم طوله 1,5 m يحمل عزم التواء 750 N·m. يجب ألّا تتجاوز زاوية الالتواء بين طرفيه 3°. أوجد أصغر قطر d يحقّق هذا الحد.

T = 750 N·mL = 1,5 mG = 26 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 5 kW عند 300 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 5 kWN = 300 rpmd_o = 50 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = −70 MPa، σᵧ = 50 MPa و τₓᵧ = 30 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 35° عكس عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σ_y′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.

σ_x = −70 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 35°

σ_y′ = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −10 MPa و σᵧ = −40 MPa و τₓᵧ = −50 MPa (الشدّ موجب). أوجد إجهاد القص τ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 25° عكس عقارب الساعة من المحور x (موجب في الاتجاه نفسه لـ τₓᵧ).

σ_x = −10 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب النحاس تحت الحمل المحوري.

P = 120 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σ_max في القضيب.

P = 100 kNالجزء 1: Ø30 mm، 2 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)الجزء 2: Ø12 mm، 1,5 m، الفولاذ (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 1,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 10 mm بعد 3 دورات قمةٌ مقدارها 2,2 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 10 mmx₃ = 2,2 mmn = 3

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 20 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 80 kN/m والسفلي k₂ = 40 kN/m. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 20 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 40 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 3,142 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

سرعة السير

v = 15,71 m/s

القدرة

P = (400 − 200)·15,71 = 3142 W = 3,142 kW

الإجابة

P = 3,142 kW

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_c = 300 rpm

مجموعات التروس الكوكبية: ترتبط سرعات الشمس والحلقة والحامل بمعادلة ويليس (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: من منظور الحامل، المجموعة مجموعة تروس عادية والكواكب تروس وسيطة. تثبيت أحد العناصر يحوّل المجموعة إلى مخفّض بنسبة واحدة.

أسنان الترس الحلقي

N_r = N_s + 2·N_p = 15 + 2·30 = 75

معادلة ويليس مع تثبيت الحلقة

اجعل n_r = 0 وحلّ لإيجاد سرعة الحامل.

(1800 − n_c)/(0 − n_c) = −75/15

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1800·15/90 = 300 rpm

الإجابة

n_c = 300 rpm

يدور الحامل في اتجاه الشمس نفسه.

3.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 53,86 mm

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي المطلوب

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 750000·1500/(26000·0,05236) = 826381 mm⁴

القطر

d = (32J/π)^1/4 = 53,86 mm

الإجابة

d = 53,86 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 9,731 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 159155·25/408885 = 9,731 MPa

الإجابة

τ_max = 9,731 MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_y′ = −17,67 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

معادلة التحويل للوجه y′

σ_y′ = −10 − (−60)·0,342 − 30·0,9397 = −17,67 MPa

تحقّق

مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.

σ_x′ = −2,33 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −20 = σ_x + σ_y

الإجابة

σ_y′ = −17,67 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_θ = −43,63 MPa

معادلة التحويل

τ_θ = −15·0,766 + −50·0,6428 = −43,63 MPa

الإجابة

τ_θ = −43,63 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 6,529 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 120·1000/78,54 = 1528 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1528/117000 = 0,01306 = 13059 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,01306·500 mm = 6,529 mm

الإجابة

δ = 6,529 mm

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ_max = 884,2 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 141,5 MPa

σ₂ = 884,2 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σ_max = 884,2 MPa

الإجابة

σ_max = 884,2 MPa

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 7,197 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/2500² = 7197 N = 7,197 kN

الإجابة

P_cr = 7,197 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 69,09 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/15 = 100

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

الإجابة

σ_cr = 69,09 MPa

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,08007

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/3)·ln(10/2,2) = 0,5047

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,5047/√(39,48 + 0,2547) = 0,08007

الإجابة

ζ = 0,08007

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 26,67 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/80 + 1/40 → k_eq = 80·40/(80 + 40) = 26,67 kN/m

الإجابة

k_eq = 26,67 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design