التروس ومجموعات التروس
- تروس متعشّقة
- n1·N1 = n2·N2
- العزم
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- القدرة
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- مجموعة تروس مركّبة
- النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل
تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
التواء الأعمدة
- إجهاد القص
- τ = T·r/J
- عمود مصمت
- J = πd⁴/32
- عمود مجوّف
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- زاوية الالتواء
- φ = TL/(GJ)
- القدرة
- P = T·ω = 2πnT/60
الطريقة
- أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
- إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
- زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
- إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.
دائرة مور وتحويل الإجهاد
- المركز
- C = (σx + σy)/2
- نصف القطر
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- الإجهادات الرئيسية
- σ1,2 = C ± R
- الاتجاه الرئيسي
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- مستوى مائل
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
الطريقة
- احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
- احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
- الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
الإجهاد والانفعال المحوري
- الإجهاد العمودي
- σ = F/A
- الانفعال
- ε = ΔL/L
- قانون هوك
- σ = E·ε
- الاستطالة
- ΔL = FL/(EA)
- الانفعال الحراري
- εT = α·ΔT
انبعاج الأعمدة
- حمل أويلر
- Pcr = π²EI/(KL)²
- معامل الطول الفعّال
- K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
- الإجهاد الحرج
- σcr = Pcr/A
- النحافة
- λ = KL/r, r = √(I/A)
الاهتزازات الميكانيكية
- التردد الطبيعي
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- من الانحراف الاستاتيكي
- ωn = √(g/δst)
- التخميد الحرج
- cc = 2√(km) = 2mωn
- نسبة التخميد
- ζ = c/cc
- التردد المخمَّد
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- التناقص اللوغاريتمي
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- نوابض على التوازي
- k = k1 + k2
- نوابض على التوالي
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2مسائل تدريبية
1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة
يمر سير على بكرة قائدة قطرها 120 mm تدور بسرعة 1450 rpm. الشد 400 N في الجانب المشدود و100 N في الجانب المرتخي. أوجد القدرة P المنقولة بوحدة kW.
d1 = 120 mmn1 = 1450 rpmT1 = 400 NT2 = 100 N
P = kW
2.التروس ومجموعات التروسصعبة
في مجموعة تروس مركّبة، يدور الترس A (30 سنًّا) على عمود الدخل بسرعة 1500 rpm ويدير الترس B (40 سنًّا). الترس C (18 سنًّا) مثبَّت على عمود B نفسه ويدير الترس D على عمود الخرج. يجب أن يدور الخرج بسرعة 337,5 rpm. كم سنًّا ND يجب أن يكون للترس D؟
nin = 1500 rpmA = 30B = 40C = 18nout = 337,5 rpm
ND =
3.التواء الأعمدةمتوسطة
عمود مجوّف من النحاس الأصفر (قطره الخارجي 50 mm، وقطره الداخلي 30 mm، وطوله 1,5 m) مثبَّت عند أحد طرفيه ويُلوى بعزم 750 N·m عند الطرف الآخر. أوجد زاوية الالتواء φ بالدرجات.
T = 750 N·mdo = 50 mmdi = 30 mmL = 1,5 mG = 39 GPa
φ = °
4.التواء الأعمدةصعبة
عمود مصمت من الفولاذ قطره 60 mm مثبَّت عند A. يؤثّر عزم التواء 250 N·m عند B على بعد 1,5 m من A، ويؤثّر عزم التواء 1000 N·m في الاتجاه نفسه عند الطرف الحر C، على بعد 1,2 m إضافية. أوجد أقصى إجهاد قص τmax في العمود.
d = 60 mmTB = 250 N·mTC = 1000 N·mAB = 1,5 mBC = 1,2 m
τmax = MPa
5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة
نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −40 MPa و σᵧ = −40 MPa و τₓᵧ = −20 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τmax.
σx = −40 MPaσy = −40 MPaτxy = −20 MPa
τmax = MPa
6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة
خزان أسطواني رقيق الجدار قطره الداخلي 1200 mm وسُمك جداره 6 mm يحتوي غازًا عند ضغط مقيس 2,5 MPa. وهو مصنوع من لوح ملحوم على طول درز حلزوني يميل بزاوية 55° عن محور الأسطوانة. أوجد مقدار إجهاد القص |τn| المؤثّر على امتداد درز اللحام.
D = 1200 mmt = 6 mmp = 2,5 MPaα = 55°
|τn| = MPa
7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة
قضيب من الفولاذ (القطر 25 mm وE = 200 GPa) داخل أنبوب من الألومنيوم (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 50 mm وE = 70 GPa). طول كل منهما 600 mm، ويُضغطان معًا بين لوحين صلبين بقوة 200 kN. أوجد الانضغاط δ.
P = 200 kNالقضيب: Ø25 mm, E = 200 GPaالأنبوب: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 600 mm
δ = mm
8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة
القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σmax في القضيب.
P = 50 kNالجزء 1: Ø40 mm، 2 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)الجزء 2: Ø12 mm، 2 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.انبعاج الأعمدةمتوسطة
عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.
L = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 80 mm
Pcr = kN
10.انبعاج الأعمدةصعبة
عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. يجب أن يحمل 105 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.
P = 105 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)
d = mm
11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة
كتلة 25 kg على نابض جساءته 5 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,7. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد fd لاهتزازها الحر بالـ Hz.
m = 25 kgk = 5 kN/mζ = 0,7
fd = Hz
12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة
كتلة 40 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 25 kN/m و k₂ = 100 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي fn للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.
m = 40 kgk1 = 25 kN/mk2 = 100 kN/m
fn = Hz
3المحاليل
1.التروس ومجموعات التروس
الإجابة: P = 2,733 kW
نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = eμθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.
سرعة السير
v = 9,111 m/s
القدرة
P = (400 − 100)·9,111 = 2733 W = 2,733 kW
الإجابة
P = 2,733 kW
2.التروس ومجموعات التروس
الإجابة: ND = 60
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
سرعة العمود الوسيط
nB = nC = 1500·30/40 = 1125 rpm
أسنان الترس D
ND = C·nC/nout = 18·1125/337,5 = 60
الإجابة
ND = 60
3.التواء الأعمدة
الإجابة: φ = 3,095 °
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
عزم القصور القطبي
J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴
زاوية الالتواء
T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 1,5 m = 1500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 750000·1500/(39000·534071) = 0,05401 rad
φ = 0,05401·180/π = 3,095°
الإجابة
φ = 3,095°
4.التواء الأعمدة
الإجابة: τmax = 29,47 MPa
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
عزوم الالتواء الداخلية
اتجاه TC مأخوذ موجبًا.
TBC = TC = 1000 N·m
TAB = TC + TB = 1000 + 250 = 1250 N·m
أقصى إجهاد قص
الجزء ذو أكبر عزم داخلي له أكبر إجهاد (القطر نفسه).
|T|max = 1250 N·m
τmax = 16·1,25 × 10⁶/(π·60³) = 29,47 MPa
الإجابة
τmax = 29,47 MPa
5.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: τmax = 20 MPa
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
نصف قطر دائرة مور
τmax = R = √(((−40 − −40)/2)² + −20²) = 20 MPa
الإجابة
τmax = 20 MPa
6.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: |τn| = 58,73 MPa
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. الأسطوانة الرقيقة الجدار: الإجهاد المحيطي σh = pr/t والإجهاد المحوري σa = pr/(2t)؛ وهما الإجهادان الرئيسيان في الجدار.
إجهادات الجدار
r = 1200/2 = 600 mm
σh = pr/t = 2,5·600/6 = 250 MPa
σa = pr/(2t) = 125 MPa
التحويل إلى الدرز
خذ x على امتداد المحور (σa) و y على امتداد المحيط (σh). العمودي على الدرز يصنع 90° − α مع المحور.
|τn| = (250 − 125)·sin 55°·cos 55° = 58,73 MPa
الإجابة
|τn| = 58,73 MPa
7.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: δ = 0,2351 mm
مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، Pi = P·EiAi/ΣEA، وσi = Ei·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.
المساحات
Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²
الصلابة المحورية المشتركة
ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·5890 = 5,105 × 10⁸ N
الانضغاط
δ = 200000·600/5,105 × 10⁸ = 0,2351 mm
الإجابة
δ = 0,2351 mm
8.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: σmax = 442,1 MPa
العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.
القوة نفسها في الجزأين
الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 39,79 MPa
σ2 = 442,1 MPa
أكبر إجهاد
الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.
σmax = 442,1 MPa
الإجابة
σmax = 442,1 MPa
9.انبعاج الأعمدة
الإجابة: Pcr = 78,75 kN
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
أصغر عزم قصور ذاتي
للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴
الطول الفعّال
KL = 0,7·6000 = 4200 mm
الحمل الحرج
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/4200² = 78746 N = 78,75 kN
الإجابة
Pcr = 78,75 kN
10.انبعاج الأعمدة
الإجابة: d = 99,77 mm
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
الحمل الحرج المطلوب
Pcr = n·P = 2·105000 = 210000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm
حلّ لإيجاد القطر
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 99,77 mm
الإجابة
d = 99,77 mm
تحقّق: النحافة KL/r تساوي 160,4، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.
11.الاهتزازات الميكانيكية
الإجابة: fd = 1,607 Hz
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
التردد الطبيعي غير المخمَّد
ωn = √(5000/25) = 14,14 rad/s
fn = 14,14/(2π) = 2,251 Hz
التردد الطبيعي المخمَّد
fd = fn·√(1 − ζ²) = 2,251·√(1 − 0,7²) = 1,607 Hz
الإجابة
fd = 1,607 Hz
12.الاهتزازات الميكانيكية
الإجابة: fn = 8,897 Hz
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
الجساءة المكافئة
النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k1 + k2.
keq = 25 + 100 = 125 kN/m
التردد الطبيعي
ωn = √(125000/40) = 55,9 rad/s
fn = 55,9/(2π) = 8,897 Hz
الإجابة
fn = 8,897 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design