تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرّك قدرته 3 kW يعمل بسرعة 960 rpm يدير ترسًا صغيرًا له 18 سنًّا وموديول 2,5 mm. أوجد القوة المماسية F_t على أسنان الترس الصغير.

P = 3 kWn = 960 rpmN₁ = 18m = 2,5 mm

F_t = N

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قائدة قطرها 160 mm تدور بسرعة 1450 rpm وبكرة قطرها 250 mm؛ والمسافة بين المركزين 1000 mm. معامل الاحتكاك 0,3 ولا يجوز أن يتجاوز الشد في الجانب المشدود 1500 N. أوجد أكبر قدرة P يستطيع السير نقلها دون انزلاق، بوحدة kW (أهمل أثر القوة الطاردة المركزية).

d₁ = 160 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 250 mmC = 1000 mmμ = 0,3T₁ = 1500 N

P = kW

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مجوّف من الفولاذ (قطره الخارجي 50 mm، وقطره الداخلي 25 mm، وطوله 0,8 m) مثبَّت عند أحد طرفيه ويُلوى بعزم 750 N·m عند الطرف الآخر. أوجد زاوية الالتواء φ بالدرجات.

T = 750 N·md_o = 50 mmd_i = 25 mmL = 0,8 mG = 80 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الألومنيوم قطره 50 mm مثبَّت عند A. يؤثّر عزم التواء 1000 N·m عند B على بعد 2 m من A، ويؤثّر عزم التواء 200 N·m في الاتجاه المعاكس عند الطرف الحر C، على بعد 1 m إضافية. أوجد مقدار زاوية التواء الطرف C φ_C بالدرجات.

d = 50 mmT_B = 1000 N·mT_C = 200 N·mAB = 2 mBC = 1 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 60 MPa، σᵧ = 30 MPa و τₓᵧ = 50 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 45° باتجاه عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σ_y′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.

σ_x = 60 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 50 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 30 MPa و σᵧ = 60 MPa و τₓᵧ = 30 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 20° عكس عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = 30 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب الألومنيوم، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 95 kNd = 25 mmL = 3 mE = 70 GPa

ε = µε

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 25 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 160 MPa) داخل أنبوب من النحاس الأصفر (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 60 mm وE = 100 GPa والإجهاد المسموح 50 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaالأنبوب: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 80 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. يجب أن يحمل 140 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 140 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

d = mm

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 40 mm بعد دورة واحدة قمةٌ مقدارها 31,1 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 40 mmx₁ = 31,1 mmn = 1

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 100 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 20 kN/m والسفلي k₂ = 10 kN/m. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 100 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: F_t = 1326 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

العزم على الترس الصغير

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T = P/ω = 3000/100,5 = 29,84 N·m

قطر الخطوة

d = m·N = 2,5·18 = 45 mm

القوة المماسية

F_t = 2T/d = 2·29,84/0,045 = 1326 N

الإجابة

F_t = 1326 N

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 10,93 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

زاوية الالتفاف

θ = 3,052 rad

الشد في الجانب المرتخي

e^μθ = e^0,9155 = 2,498, T₂ = 1500/2,498 = 600,5 N

القدرة

P = (1500 − 600,5)·12,15 = 10,93 kW

الإجابة

P = 10,93 kW

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 0,747 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

زاوية الالتواء

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·800/(80000·575243) = 0,01304 rad

φ = 0,01304·180/π = 0,747°

الإجابة

φ = 0,747°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: φ_C = 5,028 °

عزوم الالتواء الداخلية

اتجاه T_C مأخوذ موجبًا.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 1000 = −800 N·m

التواء كل جزء

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = −800000·2000/(26000·613592) = −0,1003 rad

φ_BC = 200000·1000/(26000·613592) = 0,01254 rad

التواء الطرف C

φ_C = −0,1003 + 0,01254 = −0,08776 rad → |φ_C| = 5,028°

الإجابة

φ_C = 5,028°

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_y′ = 95 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

معادلة التحويل للوجه y′

σ_y′ = 45 − 15·0 − 50·(−1) = 95 MPa

تحقّق

مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.

σ_x′ = −5 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 90 = σ_x + σ_y

الإجابة

σ_y′ = 95 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = 52,79 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = 45 + −15·0,766 + 30·0,6428 = 52,79 MPa

الإجابة

σ_θ = 52,79 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 2765 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 95·1000/490,9 = 193,5 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الألومنيوم = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 193,5/70000 = 0,002765 = 2765 µε

الإجابة

ε = 2765 µε

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 300,4 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·5027 = 6,008 × 10⁸ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,0008, 0,0005) = 0,0005 (النحاس الأصفر)

أكبر حمل

P_max = 0,0005·6,008 × 10⁸ = 300415 N = 300,4 kN

الإجابة

P_max = 300,4 kN

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 86,82 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·2000 = 4000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/4000² = 86818 N = 86,82 kN

الإجابة

P_cr = 86,82 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 65,65 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2·140000 = 280000 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·280000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 65,65 mm

الإجابة

d = 65,65 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 91,39، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,04002

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/1)·ln(40/31,1) = 0,2517

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2517/√(39,48 + 0,06334) = 0,04002

الإجابة

ζ = 0,04002

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 6,667 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/20 + 1/10 → k_eq = 20·10/(20 + 10) = 6,667 kN/m

الإجابة

k_eq = 6,667 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design