التروس ومجموعات التروس
- تروس متعشّقة
- n1·N1 = n2·N2
- العزم
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- القدرة
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- مجموعة تروس مركّبة
- النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل
تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
التواء الأعمدة
- إجهاد القص
- τ = T·r/J
- عمود مصمت
- J = πd⁴/32
- عمود مجوّف
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- زاوية الالتواء
- φ = TL/(GJ)
- القدرة
- P = T·ω = 2πnT/60
الطريقة
- أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
- إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
- زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
- إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.
دائرة مور وتحويل الإجهاد
- المركز
- C = (σx + σy)/2
- نصف القطر
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- الإجهادات الرئيسية
- σ1,2 = C ± R
- الاتجاه الرئيسي
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- مستوى مائل
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
الطريقة
- احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
- احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
- الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
الإجهاد والانفعال المحوري
- الإجهاد العمودي
- σ = F/A
- الانفعال
- ε = ΔL/L
- قانون هوك
- σ = E·ε
- الاستطالة
- ΔL = FL/(EA)
- الانفعال الحراري
- εT = α·ΔT
انبعاج الأعمدة
- حمل أويلر
- Pcr = π²EI/(KL)²
- معامل الطول الفعّال
- K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
- الإجهاد الحرج
- σcr = Pcr/A
- النحافة
- λ = KL/r, r = √(I/A)
الاهتزازات الميكانيكية
- التردد الطبيعي
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- من الانحراف الاستاتيكي
- ωn = √(g/δst)
- التخميد الحرج
- cc = 2√(km) = 2mωn
- نسبة التخميد
- ζ = c/cc
- التردد المخمَّد
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- التناقص اللوغاريتمي
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- نوابض على التوازي
- k = k1 + k2
- نوابض على التوالي
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2مسائل تدريبية
1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة
يمر سير على بكرة قائدة قطرها 200 mm تدور بسرعة 960 rpm. الشد 1000 N في الجانب المشدود و250 N في الجانب المرتخي. أوجد القدرة P المنقولة بوحدة kW.
d1 = 200 mmn1 = 960 rpmT1 = 1000 NT2 = 250 N
P = kW
2.التروس ومجموعات التروسصعبة
يصل سير مفتوح بين بكرة قائدة قطرها 100 mm تدور بسرعة 1450 rpm وبكرة قطرها 200 mm؛ والمسافة بين المركزين 600 mm. معامل الاحتكاك 0,3 ولا يجوز أن يتجاوز الشد في الجانب المشدود 600 N. أوجد أكبر قدرة P يستطيع السير نقلها دون انزلاق، بوحدة kW (أهمل أثر القوة الطاردة المركزية).
d1 = 100 mmn1 = 1450 rpmd2 = 200 mmC = 600 mmμ = 0,3T1 = 600 N
P = kW
3.التواء الأعمدةمتوسطة
عمود مصمت من النحاس الأصفر طوله 1,2 m يحمل عزم التواء 1500 N·m. يجب ألّا تتجاوز زاوية الالتواء بين طرفيه 3°. أوجد أصغر قطر d يحقّق هذا الحد.
T = 1500 N·mL = 1,2 mG = 39 GPaφallow = 3°
d = mm
4.التواء الأعمدةصعبة
يجب أن ينقل عمود مصمت 50 kW عند 1500 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 60 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.
P = 50 kWN = 1500 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة
عند نقطة σₓ = 100 MPa، σᵧ = 90 MPa و τₓᵧ = −40 MPa (الشد موجب). أوجد الزاوية θs، بين −90° و 90°، من المحور x إلى العمودي على المستوى الذي يبلغ عليه إجهاد القص قيمته الموجبة القصوى +R (القص موجب في اتجاه τₓᵧ نفسه).
σx = 100 MPaσy = 90 MPaτxy = −40 MPa
θs = °
6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة
نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 0 MPa و σᵧ = 80 MPa و τₓᵧ = 20 MPa (الشدّ موجب). أوجد إجهاد القص τθ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 60° عكس عقارب الساعة من المحور x (موجب في الاتجاه نفسه لـ τₓᵧ).
σx = 0 MPaσy = 80 MPaτxy = 20 MPaθ = 60°
τθ = MPa
7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة
قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 40 mm والطول 500 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من النحاس (القطر 40 mm والطول 400 mm وE = 120 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,5 mm إجمالًا.
المقطع 1: الفولاذ, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: النحاس, Ø40 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0,5 mm
P = kN
8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة
القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σmax في القضيب.
P = 60 kNالجزء 1: Ø35 mm، 2 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)الجزء 2: Ø12 mm، 1 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.انبعاج الأعمدةمتوسطة
عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.
L = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 30 mm
Pcr = kN
10.انبعاج الأعمدةصعبة
عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σcr من صيغة أويلر.
L = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 50 mm
σcr = MPa
11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة
في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 12 mm بعد دورة واحدة قمةٌ مقدارها 8,2 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.
x0 = 12 mmx1 = 8,2 mmn = 1
ζ =
12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة
كتلة 40 kg معلّقة بالنابض k₃ = 60 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 40 kN/m و k₂ = 60 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي fn للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.
m = 40 kgk1 = 40 kN/mk2 = 60 kN/mk3 = 60 kN/m
fn = Hz
3المحاليل
1.التروس ومجموعات التروس
الإجابة: P = 7,54 kW
نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = eμθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.
سرعة السير
v = 10,05 m/s
القدرة
P = (1000 − 250)·10,05 = 7540 W = 7,54 kW
الإجابة
P = 7,54 kW
2.التروس ومجموعات التروس
الإجابة: P = 2,689 kW
نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = eμθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.
زاوية الالتفاف
θ = 2,975 rad
الشد في الجانب المرتخي
eμθ = e0,8924 = 2,441, T₂ = 600/2,441 = 245,8 N
القدرة
P = (600 − 245,8)·7,592 = 2,689 kW
الإجابة
P = 2,689 kW
3.التواء الأعمدة
الإجابة: d = 54,74 mm
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
عزم القصور القطبي المطلوب
T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm
L = 1,2 m = 1200 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 3·π/180 = 0,05236 rad
J = TL/(Gφ) = 1,5 × 10⁶·1200/(39000·0,05236) = 881474 mm⁴
القطر
d = (32J/π)1/4 = 54,74 mm
الإجابة
d = 54,74 mm
عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.
4.التواء الأعمدة
الإجابة: d = 30,01 mm
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
العزم
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m
القطر من الإجهاد المسموح
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·318310/(π·60)) = 30,01 mm
الإجابة
d = 30,01 mm
عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.
5.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: θs = −86,44 °
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزاوية على الدائرة
على دائرة مور تبعد نقطة القمة (+R) بـ 90° عن النقطة الرئيسية σ₁؛ وعلى العنصر يعادل ذلك 45°.
cos 2θs = −40/40,31 = −0,9923, sin 2θs = −5/40,31 = −0,124
2θs = atan2(−5, −40) = −172,9°
الزاوية على العنصر
θs = −86,44°
تحقّق: θs − θp = −86,44 − (−41,44) = −45°
الإجابة
θs = −86,44°
الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.
6.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: τθ = 24,64 MPa
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
معادلة التحويل
τθ = −−40·0,866 + 20·−0,5 = 24,64 MPa
الإجابة
τθ = 24,64 MPa
7.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: P = 107,7 kN
مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، Pi = P·EiAi/ΣEA، وσi = Ei·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.
المساحات
A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²
المرونات
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·1257) = 2,653 × 10⁻⁶ mm/N
الحمل
P = 0,5/4,642 × 10⁻⁶ = 107712 N = 107,7 kN
الإجابة
P = 107,7 kN
8.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: σmax = 530,5 MPa
العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.
القوة نفسها في الجزأين
الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.
A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 62,36 MPa
σ2 = 530,5 MPa
أكبر إجهاد
الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.
σmax = 530,5 MPa
الإجابة
σmax = 530,5 MPa
9.انبعاج الأعمدة
الإجابة: Pcr = 34,88 kN
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
أصغر عزم قصور ذاتي
للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
الطول الفعّال
KL = 0,5·3000 = 1500 mm
الحمل الحرج
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1500² = 34882 N = 34,88 kN
الإجابة
Pcr = 34,88 kN
10.انبعاج الأعمدة
الإجابة: σcr = 69,94 MPa
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
أصغر عزم قصور ذاتي
للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
نصف قطر الدوران والنحافة
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/12,5 = 168
الإجهاد الحرج
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/168² = 69,94 MPa
الإجابة
σcr = 69,94 MPa
11.الاهتزازات الميكانيكية
الإجابة: ζ = 0,06049
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
التناقص اللوغاريتمي
δ = (1/1)·ln(12/8,2) = 0,3808
نسبة التخميد
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3808/√(39,48 + 0,145) = 0,06049
الإجابة
ζ = 0,06049
12.الاهتزازات الميكانيكية
الإجابة: fn = 4,873 Hz
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
الجساءة المكافئة
k1 و k2 فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k3، لذا ادمجهما بالمقلوبات.
k12 = 40 + 60 = 100 kN/m
keq = 100·60/(100 + 60) = 37,5 kN/m
التردد الطبيعي
ωn = √(37500/40) = 30,62 rad/s
fn = 30,62/(2π) = 4,873 Hz
الإجابة
fn = 4,873 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design