التروس ومجموعات التروس
- تروس متعشّقة
- n1·N1 = n2·N2
- العزم
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- القدرة
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- مجموعة تروس مركّبة
- النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل
تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
التواء الأعمدة
- إجهاد القص
- τ = T·r/J
- عمود مصمت
- J = πd⁴/32
- عمود مجوّف
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- زاوية الالتواء
- φ = TL/(GJ)
- القدرة
- P = T·ω = 2πnT/60
الطريقة
- أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
- إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
- زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
- إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.
دائرة مور وتحويل الإجهاد
- المركز
- C = (σx + σy)/2
- نصف القطر
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- الإجهادات الرئيسية
- σ1,2 = C ± R
- الاتجاه الرئيسي
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- مستوى مائل
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
الطريقة
- احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
- احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
- الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
الإجهاد والانفعال المحوري
- الإجهاد العمودي
- σ = F/A
- الانفعال
- ε = ΔL/L
- قانون هوك
- σ = E·ε
- الاستطالة
- ΔL = FL/(EA)
- الانفعال الحراري
- εT = α·ΔT
انبعاج الأعمدة
- حمل أويلر
- Pcr = π²EI/(KL)²
- معامل الطول الفعّال
- K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
- الإجهاد الحرج
- σcr = Pcr/A
- النحافة
- λ = KL/r, r = √(I/A)
الاهتزازات الميكانيكية
- التردد الطبيعي
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- من الانحراف الاستاتيكي
- ωn = √(g/δst)
- التخميد الحرج
- cc = 2√(km) = 2mωn
- نسبة التخميد
- ζ = c/cc
- التردد المخمَّد
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- التناقص اللوغاريتمي
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- نوابض على التوازي
- k = k1 + k2
- نوابض على التوالي
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2مسائل تدريبية
1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة
محرّك قدرته 11 kW يعمل بسرعة 960 rpm يدير ترسًا صغيرًا له 18 سنًّا وموديول 2 mm. أوجد القوة المماسية Ft على أسنان الترس الصغير.
P = 11 kWn = 960 rpmN1 = 18m = 2 mm
Ft = N
2.التروس ومجموعات التروسصعبة
يصل سير مفتوح بين بكرة قائدة قطرها 160 mm تدور بسرعة 720 rpm وبكرة قطرها 300 mm؛ والمسافة بين المركزين 500 mm. معامل الاحتكاك 0,25 ولا يجوز أن يتجاوز الشد في الجانب المشدود 1200 N. أوجد أكبر قدرة P يستطيع السير نقلها دون انزلاق، بوحدة kW (أهمل أثر القوة الطاردة المركزية).
d1 = 160 mmn1 = 720 rpmd2 = 300 mmC = 500 mmμ = 0,25T1 = 1200 N
P = kW
3.التواء الأعمدةمتوسطة
عمود مصمت من الألومنيوم طوله 0,5 m يحمل عزم التواء 1500 N·m. يجب ألّا تتجاوز زاوية الالتواء بين طرفيه 1°. أوجد أصغر قطر d يحقّق هذا الحد.
T = 1500 N·mL = 0,5 mG = 26 GPaφallow = 1°
d = mm
4.التواء الأعمدةصعبة
يجب أن ينقل عمود مجوّف 15 kW بسرعة 750 rpm. يُراد أن يكون قطره الداخلي 0,7 مرة من قطره الخارجي، ويجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 40 MPa. أوجد أصغر قطر خارجي do.
P = 15 kWN = 750 rpmdi/do = 0,7τallow = 40 MPa
do = mm
5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة
نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 140 MPa و σᵧ = 100 MPa و τₓᵧ = −60 MPa (الشدّ موجب). أوجد الزاوية θp من المحور x إلى اتجاه أكبر إجهاد رئيسي، بين −90° و 90°.
σx = 140 MPaσy = 100 MPaτxy = −60 MPa
θp = °
6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة
نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = −60 MPa، σᵧ = 0 MPa و τₓᵧ = −10 MPa (σz = 0). أوجد الإجهاد المكافئ وفق فون ميزس σvM.
σx = −60 MPaσy = 0 MPaτxy = −10 MPa
σvM = MPa
7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة
أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب النحاس الأصفر، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).
P = 15 kNd = 16 mmL = 3 mE = 100 GPa
ε = µε
8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة
قضيب من الفولاذ (القطر 30 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 150 MPa) داخل أنبوب من النحاس الأصفر (القطر الخارجي 120 mm والقطر الداخلي 60 mm وE = 100 GPa والإجهاد المسموح 80 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل Pmax.
القضيب: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPaالأنبوب: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
9.انبعاج الأعمدةمتوسطة
عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.
L = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
10.انبعاج الأعمدةصعبة
عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σcr من صيغة أويلر.
L = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 25 mm
σcr = MPa
11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة
كتلة 200 kg على نابض جساءته 150 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,7. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد fd لاهتزازها الحر بالـ Hz.
m = 200 kgk = 150 kN/mζ = 0,7
fd = Hz
12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة
كتلة 10 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 80 kN/m والسفلي k₂ = 60 kN/m. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي fn للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.
m = 10 kgk1 = 80 kN/mk2 = 60 kN/m
fn = Hz
3المحاليل
1.التروس ومجموعات التروس
الإجابة: Ft = 6079 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
العزم على الترس الصغير
ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T = P/ω = 11000/100,5 = 109,4 N·m
قطر الخطوة
d = m·N = 2·18 = 36 mm
القوة المماسية
Ft = 2T/d = 2·109,4/0,036 = 6079 N
الإجابة
Ft = 6079 N
2.التروس ومجموعات التروس
الإجابة: P = 3,698 kW
نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = eμθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.
زاوية الالتفاف
θ = 2,861 rad
الشد في الجانب المرتخي
eμθ = e0,7152 = 2,045, T₂ = 1200/2,045 = 586,9 N
القدرة
P = (1200 − 586,9)·6,032 = 3,698 kW
الإجابة
P = 3,698 kW
3.التواء الأعمدة
الإجابة: d = 64,05 mm
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
عزم القصور القطبي المطلوب
T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm
L = 0,5 m = 500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 1·π/180 = 0,01745 rad
J = TL/(Gφ) = 1,5 × 10⁶·500/(26000·0,01745) = 1,653 × 10⁶ mm⁴
القطر
d = (32J/π)1/4 = 64,05 mm
الإجابة
d = 64,05 mm
عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.
4.التواء الأعمدة
الإجابة: do = 31,75 mm
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
العزم
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 15000/78,54 = 191 N·m
القطر الخارجي من الإجهاد المسموح
T = 191 N·m = 190986 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·190986/(π·40·0,7599)) = 31,75 mm
di = 0,7·31,75 = 22,22 mm
الإجابة
do = 31,75 mm
العمود المصمت يحتاج إلى d = 28,97 mm؛ والمجوّف أكبر قليلًا لكنه أخفّ بكثير.
5.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: θp = −35,78 °
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزاوية على الدائرة
تقع النقطة x على دائرة مور بزاوية 2θp من المحور σ؛ ويُحدَّد الربع من إشارتي σₓ − σᵧ و τₓᵧ.
2θp = atan2(2·−60, 140 − 100) = −71,57°
الزاوية على العنصر
θp = −35,78°
الإجابة
θp = −35,78°
الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.
6.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: σvM = 62,45 MPa
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σY؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σY/2.
الإجهادات الرئيسية
C = −30 MPa, R = 31,62 MPa
σ1 = 1,623 MPa, σ2 = −61,62 MPa, σ3 = 0
فون ميزس
σvM = √(1,623² − 1,623·(−61,62) + (−61,62)²) = 62,45 MPa
الإجابة
σvM = 62,45 MPa
7.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: ε = 746 µε
قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).
الإجهاد
A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 15·1000/201,1 = 74,6 MPa
الانفعال (قانون هوك)
E for النحاس الأصفر = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 74,6/100000 = 0,000746 = 746 µε
الإجابة
ε = 746 µε
8.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: Pmax = 742,2 kN
مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، Pi = P·EiAi/ΣEA، وσi = Ei·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.
المساحات
Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²
الصلابة المحورية المشتركة
ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·8482 = 9,896 × 10⁸ N
الانفعال الحاكم
ε = min(0,00075, 0,0008) = 0,00075 (الفولاذ)
أكبر حمل
Pmax = 0,00075·9,896 × 10⁸ = 742201 N = 742,2 kN
الإجابة
Pmax = 742,2 kN
9.انبعاج الأعمدة
الإجابة: Pcr = 374,3 kN
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
أصغر عزم قصور ذاتي
ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.
Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴
الطول الفعّال
KL = 0,5·3000 = 1500 mm
الحمل الحرج
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/1500² = 374314 N = 374,3 kN
الإجابة
Pcr = 374,3 kN
10.انبعاج الأعمدة
الإجابة: σcr = 8,812 MPa
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
أصغر عزم قصور ذاتي
للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
نصف قطر الدوران والنحافة
A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 0,7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/6,25 = 280
الإجهاد الحرج
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa
الإجابة
σcr = 8,812 MPa
11.الاهتزازات الميكانيكية
الإجابة: fd = 3,113 Hz
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
التردد الطبيعي غير المخمَّد
ωn = √(150000/200) = 27,39 rad/s
fn = 27,39/(2π) = 4,359 Hz
التردد الطبيعي المخمَّد
fd = fn·√(1 − ζ²) = 4,359·√(1 − 0,7²) = 3,113 Hz
الإجابة
fd = 3,113 Hz
12.الاهتزازات الميكانيكية
الإجابة: fn = 9,319 Hz
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
الجساءة المكافئة
النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/80 + 1/60 → keq = 80·60/(80 + 60) = 34,29 kN/m
التردد الطبيعي
ωn = √(34286/10) = 58,55 rad/s
fn = 58,55/(2π) = 9,319 Hz
الإجابة
fn = 9,319 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design