القياس والأجهزة: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

جهود المجزّئات
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
المخرَج
Vab = Va − Vb
التوازن
R1/R2 = R3/R4
القنطرة ذات السلك المنزلق
R/Rx = l/(100 − l)
مقاومة ثيفنن
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
معامل المقياس
ΔR/R = GF·ε
خرج القنطرة
ربع Vs·GF·ε/4، نصف Vs·GF·ε/2، كامل Vs·GF·ε
التغير الصغير، ذراع واحد
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
الإجهاد
σ = E·ε

الطريقة

  1. عامل القنطرة على أنها مجزّئا جهد على المصدر نفسه.
  2. للاتزان ضع R₁/R₂ = R₃/R₄ وحُلّ لإيجاد المقاومة المجهولة.
  3. لقنطرة غير متزنة أوجد Va وVb من المجزّئين ثم اطرح؛ واستخدم مكافئ تيفينين حين يُحمِّل مقياسٌ الخرج.
  4. لمقاييس الانفعال حوّل الانفعال إلى ΔR/R = GF·ε واستخدم Vs·GF·ε/4 أو /2 أو ×1 لربع القنطرة أو نصفها أو كاملها.

اكتساب البيانات وأخذ العينات

معيار نيكويست
fs > 2·fmax, fN = fs/2
تردد التداخل الطيفي
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
حجم الخطوة
1 LSB = VFSR/2ᴺ
خطأ التكميم (بالتقريب)
±½ LSB
رمز المحوّل مع البتر
D = ⌊Vin/LSB⌋
عدد البتات لدقة r
2ᴺ ≥ span/r
نسبة SQNR المثالية لموجة جيبية بمدى كامل
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
معدل البيانات
القنوات × fs × N بت/ث
محوّل ADC متعدد القنوات
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud؛ 8N1 = 10 بتات لكل بايت؛ بايت/ث = baud/عدد بتات الإطار
مقسّم معدل الباود
baud = fclk/(16·D)

الطريقة

  1. دوّن المعطيات: معدل أخذ العينات، وترددات الإشارة، وعدد البتات، ومدى الدخل، ومعدل الباود.
  2. في أسئلة أخذ العينات، قارن كل تردد مع fs/2؛ والتردد الأعلى يظهر عند fa = |f − k·fs| حيث يكون k·fs أقرب مضاعف لـ fs.
  3. في أسئلة الدقة، أوجد 1 LSB = VFSR/2ᴺ، أو أصغر N يحقق 2ᴺ ≥ المدى/الدقة.
  4. في معدلات البيانات ووصلات UART، احسب كل ما يُرسل: القنوات، والعينات في الثانية، والبتات أو البايتات الكاملة لكل عينة، وبتات البدء والتكافؤ والإيقاف في كل إطار.

دوائر مكبّرات العمليات

المكبّر العاكس
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
المكبّر غير العاكس
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
المكبّر الجامع
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
مكبّر العمليات المثالي
V+ = V−, Iin = 0

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي
Req = R1 + R2 + …
مقاومات على التوازي
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
مقاومتان على التوازي
Req = R1R2 / (R1 + R2)
قانون أوم
V = I·R
القدرة
P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

  1. ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
  2. اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
  4. كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

ثيفنن ونورتن

جهد ثيفنن
Vth = Vopen circuit
مقاومة ثيفنن
Rth: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن
IN = Vth/Rth
تيار الحِمل
IL = Vth/(Rth + RL)
أقصى نقل للقدرة
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

الطريقة

  1. أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
  2. أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو Vth.
  3. أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي Rth.
  4. أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: Vth على التوالي مع Rth.
  5. لمكافئ نورتن، حوّل: IN = Vth/Rth، مع RN = Rth على التوازي.

2مسائل تدريبية

1.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعالمتوسطة
+−12 VR1​ = 600 ΩR2​ = 250 ΩR3​ = 300 ΩR4​ = 200 Ωab+−Rth​ = ?

أوجد مقاومة تيفينين Rth للقنطرة الموضحة، من منظور طرفي الخرج a وb.

Vs = 12 VR1 = 600 ΩR2 = 250 ΩR3 = 300 ΩR4 = 200 Ω
Rth = Ω
2.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعالصعبة
+−3 V350 Ω − ΔR350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−Vo​ = ?

قنطرة أذرعها 350 Ω تُثار بـ 3 V وفيها مقياسان فعّالان في ذراعين متجاورين، أحدهما في الشد والآخر في الانضغاط (نصف قنطرة). معامل المقياس 2 والانفعال 800 µε. أوجد خرج القنطرة Vo بوحدة mV.

Vs = 3 VGF = 2ε = 800 µε
Vo = mV
3.اكتساب البيانات وأخذ العيناتمتوسطة
Vin​N = ?5 V2ᴺ − 10≤ 0,2 mV

يجب أن يميّز محوّل ADC ذو مدى دخل من 0 إلى 5 V خطوات بحجم 0,2 mV أو أصغر. أوجد أصغر عدد من البتات N.

VFSR = 5 Vالدقة = 0,2 mV
N =
4.اكتساب البيانات وأخذ العيناتصعبة
Vin​N = ?VFSR​2ᴺ − 101 LSB

يتطلب قياس صوتي نسبة إشارة إلى ضجيج تكميم مثالية لا تقل عن 70 dB لموجة جيبية بمدى كامل. أوجد أصغر عدد من بتات ADC N.

SQNR ≥ 70 dB
N =
5.دوائر مكبّرات العملياتمتوسطة
−+Vout​R2​ = 47 kΩV1​ = 1 VR1​ = 10 kΩV2​ = 3 VR3​ = 10 kΩR4​ = 47 kΩ

يستخدم مكبّر الفرق مكبّر عمليات مثاليًا بمصدرَي تغذية ±15 V، مع R3 = R1 و R4 = R2. أوجد جهد الخرج Vout.

V1 = 1 VV2 = 3 VR1 = R3 = 10 kΩR2 = R4 = 47 kΩ
Vout = V
6.دوائر مكبّرات العملياتصعبة
−+Vout​Rf​ = 22 kΩV1​ = 1,6 VR1​ = 22 kΩV2​ = −1,8 VR2​ = 100 kΩIf​

يستخدم المكبّر الجامع مكبّر عمليات مثاليًا بمصدرين ±15 V. أوجد التيار If عبر مقاومة التغذية الراجعة المتّجه نحو الخرج.

V1 = 1,6 VV2 = −1,8 VR1 = 22 kΩR2 = 100 kΩRf = 22 kΩ
If = mA
7.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة
R1​ = 12 ΩIR1​R3​ = 3 Ω+−V1​12 VR2​12 ΩAR4​3 ΩB

أوجد التيار IR1 الذي يورّده المصدر، والذي يمرّ عبر R1.

V1 = 12 VR1 = 12 ΩR2 = 12 ΩR3 = 3 ΩR4 = 3 Ω
IR1 = A
8.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة
R1​ = 3 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​9 VR2​3 ΩAR4​20 ΩBR6​20 Ω

أوجد المقاومة المكافئة Req التي يراها المصدر V1.

V1 = 9 VR1 = 3 ΩR2 = 3 ΩR3 = 4 ΩR4 = 20 ΩR5 = 6 ΩR6 = 20 Ω
Req = Ω
9.ثيفنن ونورتنمتوسطة
R1​ = 4 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAab

أوجد تيار نورتن IN: التيار الذي يسري من a إلى b إذا قُصر الطرفان.

V1 = 9 VR1 = 4 ΩR2 = 4 ΩR3 = 20 Ω
IN = A
10.ثيفنن ونورتنصعبة
R1​ = 8 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​5 VR2​20 ΩAIs​5 ABRL​20 ΩIL​

وُصل حِمل RL = 20 Ω بين a–b. استبدل بقية الدائرة بمكافئ ثيفنن وأوجد تيار الحِمل IL.

V1 = 5 VIs = 5 AR1 = 8 ΩR2 = 20 ΩR3 = 8 ΩRL = 20 Ω
IL = A

3المحاليل

1.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

الإجابة: Rth = 296,5 Ω

قنطرة ويتستون: مجزّئا جهد يتشاركان مصدرًا واحدًا Vs. يعطي المجزّئ الأيسر R1–R2 الجهد Va = Vs·R2/(R1 + R2) ويعطي المجزّئ الأيمن R3–R4 الجهد Vb = Vs·R4/(R3 + R4)؛ والخرج هو Vab = Va − Vb. تكون القنطرة متزنة (Vab = 0، ولا تيار في المقياس) حين R1/R2 = R3/R4، أي R1·R4 = R2·R3. وإذا نُظر إليها من الخرج فهي مصدر تيفينين بمقاومة Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

المصدر مقصَّر

R₁∥R₂ = 600·250/850 = 176,5 Ω
R₃∥R₄ = 300·200/500 = 120 Ω

مقاومة ثيفنن

Rth = 296,5 Ω

الإجابة

Rth = 296,5 Ω
2.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

الإجابة: Vo = 2,4 mV

مقاييس الانفعال: تتغير مقاومة المقياس مع الانفعال: ΔR/R = GF·ε، حيث معامل المقياس GF نحو 2 للرقائق المعدنية. في قنطرة تكون فيها كل الأذرع مساوية لـ R، يعطي مقياس فعّال واحد (ربع قنطرة) Vo ≈ Vs·GF·ε/4. ويعطي مقياسان فعّالان بانفعالين متعاكسين في ذراعين متجاورين (نصف قنطرة) Vs·GF·ε/2، وأربعة مقاييس (قنطرة كاملة) تعطي Vs·GF·ε. ويأتي الإجهاد من قانون هوك، σ = E·ε. وتذكر خلايا الحمل حساسيتها بوحدة mV/V: الخرج عند الحمل الكامل لكل فولت من الإثارة.

التغير النسبي في المقاومة

ΔR/R = 2·800·10⁻⁶ = 0,0016

خرج القنطرة

Vo = Vs·GF·ε/2 = 3·0,0016/2 = 2,4 mV

الإجابة

Vo = 2,4 mV
3.اكتساب البيانات وأخذ العينات

الإجابة: N = 15

دقة ADC: يقسّم المحوّل ذو N بت مدى المقياس الكامل VFSR إلى 2ᴺ رمزًا، من 0 إلى 2ᴺ − 1. الخطوة الواحدة هي 1 LSB = VFSR/2ᴺ: أصغر تغيّر يستطيع المحوّل إظهاره. يعطي المحوّل ذو البتر الرمز ⌊Vin/LSB⌋؛ أما المحوّل ذو التقريب فلا يبعد أبدًا أكثر من ½ LSB عن القيمة الحقيقية، وهذا خطأ التكميم له. كل بت إضافي يُنصّف LSB ويضيف نحو 6 dB إلى نسبة الإشارة إلى ضجيج التكميم المثالية SQNR = 6,02·N + 1,76 dB لموجة جيبية بمدى كامل. لبلوغ دقة r على مدى معيّن، اختر أصغر N يحقق 2ᴺ ≥ المدى/r.

الخطوات اللازمة

5000 mV/0,2 mV = 25000

البتات

log₂(25000) = 14,61
214 = 16384 < 25000 ≤ 215 = 32768
N = 15

الإجابة

N = 15
4.اكتساب البيانات وأخذ العينات

الإجابة: N = 12

دقة ADC: يقسّم المحوّل ذو N بت مدى المقياس الكامل VFSR إلى 2ᴺ رمزًا، من 0 إلى 2ᴺ − 1. الخطوة الواحدة هي 1 LSB = VFSR/2ᴺ: أصغر تغيّر يستطيع المحوّل إظهاره. يعطي المحوّل ذو البتر الرمز ⌊Vin/LSB⌋؛ أما المحوّل ذو التقريب فلا يبعد أبدًا أكثر من ½ LSB عن القيمة الحقيقية، وهذا خطأ التكميم له. كل بت إضافي يُنصّف LSB ويضيف نحو 6 dB إلى نسبة الإشارة إلى ضجيج التكميم المثالية SQNR = 6,02·N + 1,76 dB لموجة جيبية بمدى كامل. لبلوغ دقة r على مدى معيّن، اختر أصغر N يحقق 2ᴺ ≥ المدى/r.

حلّ لإيجاد N

N ≥ (70 − 1,76)/6,02 = 11,34

قرّب إلى الأعلى

N = 12
تحقّق: 6,02·12 + 1,76 = 74 dB ≥ 70 dB

الإجابة

N = 12
5.دوائر مكبّرات العمليات

الإجابة: Vout = 9,4 V

قواعد مكبّر العمليات المثالي: مع التغذية الراجعة السالبة، يضبط المكبّر خرجه بحيث يكون دخلاه على الجهد نفسه (V₋ = V₊)، ولا يدخل أي تيار إلى أي من الدخلين. كتابة قانون كيرشوف للتيار عند الدخل العاكس مع هاتين الحقيقتين تعطي الخرج.

الجهد عند الدخلين

R₃ و R₄ يحملان التيار نفسه، لذا يشكّلان مقسّم جهد؛ والتغذية الراجعة تجعل V₋ = V₊.

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 3·47/(10 + 47) = 2,474 V
V₋ = V₊

قانون كيرشوف للتيار عند الدخل العاكس

(1 − 2,474)/10 = (2,474 − Vout)/47
Vout = (R2/R1)·(V2 − V1) = (47/10)·(3 − 1) = 9,4 V

الإجابة

Vout = 9,4 V
6.دوائر مكبّرات العمليات

الإجابة: If = 0,05473 mA

قواعد مكبّر العمليات المثالي: مع التغذية الراجعة السالبة، يضبط المكبّر خرجه بحيث يكون دخلاه على الجهد نفسه (V₋ = V₊)، ولا يدخل أي تيار إلى أي من الدخلين. كتابة قانون كيرشوف للتيار عند الدخل العاكس مع هاتين الحقيقتين تعطي الخرج.

تيارات الدخل

V₋ = 0، لذا يقع على كل مقاومة دخل كامل جهد دخلها.

I1 = V1/R1 = 1,6/22 = 0,07273 mA
I2 = V2/R2 = −1,8/100 = −0,018 mA
If = I1 + I2 = 0,05473 mA

الإجابة

If = 0,05473 mA
7.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: IR1 = 0,75 A

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

R1​ = 12 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​12 VR2​12 ΩAR4​3 ΩB

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R3 + R4 = 3 + 3 = 6 Ω
R2 ∥ 6 = 12·6/(12+6) = 4 Ω
Req = R1 + 4 = 12 + 4 = 16 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا Req، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

IR1 = V1/Req = 12/16 = 0,75 A

الإجابة

IR1 = 0,75 A
8.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: Req = 5,508 Ω

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

R1​ = 3 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​9 VR2​3 ΩAR4​20 ΩBR6​20 Ω

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R5 + R6 = 6 + 20 = 26 Ω
R4 ∥ 26 = 11,3 Ω
R3 + 11,3 = 15,3 Ω
R2 ∥ 15,3 = 2,508 Ω
Req = R1 + 2,508 = 3 + 2,508 = 5,508 Ω

الإجابة

Req = 5,508 Ω
9.ثيفنن ونورتن

الإجابة: IN = 0,2045 A

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.

R1​ = 4 ΩR3​ = 20 ΩقصرR2​4 ΩAabRth​

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R1 ∥ R2 = 4·4/(4+4) = 2 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2 + 20 = 22 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAab+−Vth​

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·4/(4+4) = 4,5 V
IN​0,2045 ARth​22 Ωab

مكافئ نورتن

مصدر نورتن هو الدائرة نفسها منظورًا إليها كمصدر تيار على التوازي مع R_th. تياره هو تيار القصر بين a–b.

IN = Vth/Rth = 4,5/22 = 0,2045 A
10.ثيفنن ونورتن

الإجابة: IL = 2,14 A

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.

R1​ = 8 ΩR3​ = 8 ΩقصرR2​20 ΩAمفتوحBabRth​

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R1 ∥ R2 = 8·20/(8+20) = 5,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5,714 + 8 = 13,71 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​5 VR2​20 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3,571 + 5·5,714 = 32,14 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 32,14 + 5·8 = 72,14 V
Rth​ = 13,71 Ω+−Vth​72,14 VRL​20 ΩIL​

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.

IL = Vth/(Rth + RL) = 72,14/(13,71 + 20) = 2,14 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation