القياس والأجهزة: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

جهود المجزّئات: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
المخرَج: V_ab = V_a − V_b
التوازن: R₁/R₂ = R₃/R₄
القنطرة ذات السلك المنزلق: R/R_x = l/(100 − l)
مقاومة ثيفنن: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
معامل المقياس: ΔR/R = GF·ε
خرج القنطرة: ربع V_s·GF·ε/4، نصف V_s·GF·ε/2، كامل V_s·GF·ε
التغير الصغير، ذراع واحد: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
الإجهاد: σ = E·ε

الطريقة

عامل القنطرة على أنها مجزّئا جهد على المصدر نفسه.
للاتزان ضع R₁/R₂ = R₃/R₄ وحُلّ لإيجاد المقاومة المجهولة.
لقنطرة غير متزنة أوجد V_a وV_b من المجزّئين ثم اطرح؛ واستخدم مكافئ تيفينين حين يُحمِّل مقياسٌ الخرج.
لمقاييس الانفعال حوّل الانفعال إلى ΔR/R = GF·ε واستخدم V_s·GF·ε/4 أو /2 أو ×1 لربع القنطرة أو نصفها أو كاملها.

اكتساب البيانات وأخذ العينات

معيار نيكويست: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
تردد التداخل الطيفي: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
حجم الخطوة: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
خطأ التكميم (بالتقريب): ±½ LSB
رمز المحوّل مع البتر: D = ⌊V_in/LSB⌋
عدد البتات لدقة r: 2ᴺ ≥ span/r
نسبة SQNR المثالية لموجة جيبية بمدى كامل: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
معدل البيانات: القنوات × f_s × N بت/ث
محوّل ADC متعدد القنوات: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud؛ 8N1 = 10 بتات لكل بايت؛ بايت/ث = baud/عدد بتات الإطار
مقسّم معدل الباود: baud = f_clk/(16·D)

الطريقة

دوّن المعطيات: معدل أخذ العينات، وترددات الإشارة، وعدد البتات، ومدى الدخل، ومعدل الباود.
في أسئلة أخذ العينات، قارن كل تردد مع f_s/2؛ والتردد الأعلى يظهر عند f_a = |f − k·f_s| حيث يكون k·f_s أقرب مضاعف لـ f_s.
في أسئلة الدقة، أوجد 1 LSB = V_FSR/2ᴺ، أو أصغر N يحقق 2ᴺ ≥ المدى/الدقة.
في معدلات البيانات ووصلات UART، احسب كل ما يُرسل: القنوات، والعينات في الثانية، والبتات أو البايتات الكاملة لكل عينة، وبتات البدء والتكافؤ والإيقاف في كل إطار.

دوائر مكبّرات العمليات

المكبّر العاكس: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
المكبّر غير العاكس: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
المكبّر الجامع: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
مكبّر العمليات المثالي: V₊ = V₋, I_in = 0

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي: R_eq = R₁ + R₂ + …
مقاومات على التوازي: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
مقاومتان على التوازي: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
قانون أوم: V = I·R
القدرة: P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

ثيفنن ونورتن

جهد ثيفنن: V_th = V_{open circuit}
مقاومة ثيفنن: R_th: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن: I_N = V_th/R_th
تيار الحِمل: I_L = V_th/(R_th + R_L)
أقصى نقل للقدرة: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

الطريقة

أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو V_th.
أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي R_th.
أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: V_th على التوالي مع R_th.
لمكافئ نورتن، حوّل: I_N = V_th/R_th، مع R_N = R_th على التوازي.

2مسائل تدريبية

1.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعالمتوسطة

أوجد مقاومة تيفينين R_th للقنطرة الموضحة، من منظور طرفي الخرج a وb.

V_s = 2 VR₁ = 800 ΩR₂ = 80 ΩR₃ = 1000 ΩR₄ = 500 Ω

R_th = Ω

2.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعالصعبة

مقياس انفعال (GF = 2,1) على عنصر ذي E = 200 GPa يشكّل ربع قنطرة تُثار بـ 5 V. يقرأ الخرج 1,05 mV. أوجد الإجهاد المحوري σ بوحدة MPa.

V_s = 5 VGF = 2,1V_o = 1,05 mVE = 200 GPa

σ = MPa

3.اكتساب البيانات وأخذ العيناتمتوسطة

يرسل UART بايتات بمعدل 9600 baud بالصيغة 8E1: 8 بتات بيانات، وبت تكافؤ زوجي، و1 بت إيقاف، إضافة إلى بت البدء. أوجد أكبر عدد من بايتات البيانات في الثانية يستطيع نقله.

baud = 9600 Bd8E1

R_B = B/s

4.اكتساب البيانات وأخذ العيناتصعبة

يبث محوّل ADC بـ 12 بت كل عينة عبر UART بمعدل 9600 baud وبالصيغة 8N1 (بت بدء، و8 بتات بيانات، وبت إيقاف واحد). تُرسل كل عينة في 2 بايت كاملة والوصلة مشغولة طوال الوقت. أوجد أعلى تردد للإشارة f_max يمكن أخذ عيناته دون تداخل طيفي، بوحدة Hz.

baud = 9600 BdN = 128N1

f_max = Hz

5.دوائر مكبّرات العملياتمتوسطة

مكبّر العمليات مثالي ويعمل بمصدرين ±15 V. أوجد جهد الخرج V_out.

V_in = 0,5 VR_a = 100 kΩR_b = 100 kΩR₁ = 47 kΩR_f = 100 kΩ

V_out = V

6.دوائر مكبّرات العملياتصعبة

مرحلتا مكبّر عمليات مثاليتان موصولتان على التتالي: مكبّر عاكس (R₁، R_f1) يليه مكبّر غير عاكس (R₂ إلى الأرضي، R_f2 في التغذية الراجعة). كلتاهما تعملان من مصدرَي تغذية ±15 V. الدخل V_in = 0,85 V. أوجد جهد الخرج V_out.

R₁ = 10 kΩR_f1 = 100 kΩR₂ = 22 kΩR_f2 = 1 kΩV_in = 0,85 V

V_out = V

7.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة

أوجد التيار I_R1 الذي يورّده المصدر، والذي يمرّ عبر R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

8.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة

أوجد التيار I_R2 عبر R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 8 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 15 Ω

I_R2 = A

9.ثيفنن ونورتنمتوسطة

وُصل حِمل R_L = 5 Ω بين a–b. استبدل بقية الدائرة بمكافئ ثيفنن وأوجد تيار الحِمل I_L.

V₁ = 24 VR₁ = 12 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 20 ΩR_L = 5 Ω

I_L = A

10.ثيفنن ونورتنصعبة

أوجد تيار نورتن I_N: التيار الذي يسري من a إلى b إذا قُصر الطرفان.

V₁ = 12 VI_s = 6 AR₁ = 5 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 4 Ω

I_N = A

3المحاليل

1.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

الإجابة: R_th = 406,1 Ω

قنطرة ويتستون: مجزّئا جهد يتشاركان مصدرًا واحدًا V_s. يعطي المجزّئ الأيسر R₁–R₂ الجهد V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) ويعطي المجزّئ الأيمن R₃–R₄ الجهد V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)؛ والخرج هو V_ab = V_a − V_b. تكون القنطرة متزنة (V_ab = 0، ولا تيار في المقياس) حين R₁/R₂ = R₃/R₄، أي R₁·R₄ = R₂·R₃. وإذا نُظر إليها من الخرج فهي مصدر تيفينين بمقاومة R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

المصدر مقصَّر

R₁∥R₂ = 800·80/880 = 72,73 Ω

R₃∥R₄ = 1000·500/1500 = 333,3 Ω

مقاومة ثيفنن

R_th = 406,1 Ω

الإجابة

R_th = 406,1 Ω

2.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

الإجابة: σ = 80 MPa

مقاييس الانفعال: تتغير مقاومة المقياس مع الانفعال: ΔR/R = GF·ε، حيث معامل المقياس GF نحو 2 للرقائق المعدنية. في قنطرة تكون فيها كل الأذرع مساوية لـ R، يعطي مقياس فعّال واحد (ربع قنطرة) V_o ≈ V_s·GF·ε/4. ويعطي مقياسان فعّالان بانفعالين متعاكسين في ذراعين متجاورين (نصف قنطرة) V_s·GF·ε/2، وأربعة مقاييس (قنطرة كاملة) تعطي V_s·GF·ε. ويأتي الإجهاد من قانون هوك، σ = E·ε. وتذكر خلايا الحمل حساسيتها بوحدة mV/V: الخرج عند الحمل الكامل لكل فولت من الإثارة.

الانفعال

ε = 4·0,00105/(5·2,1) = 0,0004

الإجهاد

σ = 200·10³ MPa·0,0004 = 80 MPa

الإجابة

σ = 80 MPa

3.اكتساب البيانات وأخذ العينات

الإجابة: R_B = 872,7 B/s

UART: وصلة تسلسلية غير متزامنة ترسل كل بايت في إطار: بت بدء واحد (منخفض)، وبتات البيانات، وبت تكافؤ اختياري، وبت إيقاف أو بتّا إيقاف (مرتفع). معدل الباود هو عدد البتات في الثانية، لذا يستغرق البت الواحد T_b = 1/baud ويستغرق إطار من n بت زمن n/baud. للصيغة الشائعة 8N1 عشرة بتات لكل بايت. يقسم مولّد الباود تردد الساعة: baud = f_clk/(16·D) مع عدد صحيح D، فيختلف معدل الباود الفعلي قليلًا عن المطلوب؛ وخطأ أقل من نحو 2 % مقبول عادةً.

البتات في الإطار

1 + 8 + 1 + 1 = 11

معدل البايتات

9600/11 = 872,7 B/s

الإجابة

R_B = 872,7 B/s

4.اكتساب البيانات وأخذ العينات

الإجابة: f_max = 240 Hz

البتات لكل عينة على الخط

2·10 = 20 bit

أعلى معدل لأخذ العينات

f_s,max = 9600/20 = 480 Hz

حد نيكويست

f_max = 480/2 = 240 Hz

الإجابة

f_max = 240 Hz

5.دوائر مكبّرات العمليات

الإجابة: V_out = 0,7819 V

قواعد مكبّر العمليات المثالي: مع التغذية الراجعة السالبة، يضبط المكبّر خرجه بحيث يكون دخلاه على الجهد نفسه (V₋ = V₊)، ولا يدخل أي تيار إلى أي من الدخلين. كتابة قانون كيرشوف للتيار عند الدخل العاكس مع هاتين الحقيقتين تعطي الخرج.

الجهد عند الدخل +

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 0,5·100/(100 + 100) = 0,25 V

الكسب غير العاكس

V₋ = V₊، والتيار المارّ في R₁ يمرّ أيضًا في R_f.

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 0,25·(1 + 100/47) = 0,7819 V

الإجابة

V_out = 0,7819 V

6.دوائر مكبّرات العمليات

الإجابة: V_out = −8,886 V

كسب كل مرحلة

A₁ = −R_f1/R₁ = −100/10 = −10

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 1/22 = 1,045

مرحلةً مرحلة

V₁ = −10·0,85 = −8,5 V

V_out = 1,045·(−8,5) = −8,886 V

الإجابة

V_out = −8,886 V

7.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: I_R1 = 1,333 A

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R₃ + R₄ = 2 + 4 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 2·6/(2+6) = 1,5 Ω

R_eq = R₁ + 1,5 = 6 + 1,5 = 7,5 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا R_eq، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/7,5 = 1,333 A

الإجابة

I_R1 = 1,333 A

8.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: I_R2 = 0,9008 A

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

R₅ + R₆ = 12 + 15 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 14,21 Ω

R₃ + 14,21 = 24,21 Ω

R₂ ∥ 24,21 = 3,433 Ω

R_eq = R₁ + 3,433 = 8 + 3,433 = 11,43 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا R_eq، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/11,43 = 1,05 A

التيار عبر R₂

اطرح الهبوط على R₁ لتحصل على الجهد عند العقدة A، وهو الجهد على R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 1,05·8 = 3,603 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,603/4 = 0,9008 A

الإجابة

I_R2 = 0,9008 A

9.ثيفنن ونورتن

الإجابة: I_L = 0,4615 A

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد V_th على التوالي مع مقاومة R_th. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار I_N = V_th/R_th على التوازي مع R_th.

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 12·20/(12+20) = 7,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 7,5 + 20 = 27,5 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·20/(12+20) = 15 V

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 15/(27,5 + 5) = 0,4615 A

10.ثيفنن ونورتن

الإجابة: I_N = −4,759 A

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 5·30/(5+30) = 4,286 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,286 + 4 = 8,286 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 10,29 + (−6)·4,286 = −15,43 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −15,43 + (−6)·4 = −39,43 V

مكافئ نورتن

مصدر نورتن هو الدائرة نفسها منظورًا إليها كمصدر تيار على التوازي مع R_th. تياره هو تيار القصر بين a–b.

I_N = V_th/R_th = −39,43/8,286 = −4,759 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

القياس والأجهزة: حزمة المراجعة المكثفة

1القوانين وطرق الحل

قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

الطريقة

اكتساب البيانات وأخذ العينات

الطريقة

دوائر مكبّرات العمليات

المقاومات على التوالي والتوازي

الطريقة

ثيفنن ونورتن

الطريقة

2مسائل تدريبية

3المحاليل

المصدر مقصَّر

مقاومة ثيفنن

الإجابة

الانفعال

الإجهاد

الإجابة

البتات في الإطار

معدل البايتات

الإجابة

البتات لكل عينة على الخط

أعلى معدل لأخذ العينات

حد نيكويست

الإجابة

الجهد عند الدخل +

الكسب غير العاكس

الإجابة

كسب كل مرحلة

مرحلةً مرحلة

الإجابة

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

التيار من المصدر

الإجابة

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

التيار من المصدر

التيار عبر R₂

الإجابة

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

مكافئ نورتن

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة