القياس والأجهزة: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

جهود المجزّئات
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
المخرَج
Vab = Va − Vb
التوازن
R1/R2 = R3/R4
القنطرة ذات السلك المنزلق
R/Rx = l/(100 − l)
مقاومة ثيفنن
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
معامل المقياس
ΔR/R = GF·ε
خرج القنطرة
ربع Vs·GF·ε/4، نصف Vs·GF·ε/2، كامل Vs·GF·ε
التغير الصغير، ذراع واحد
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
الإجهاد
σ = E·ε

الطريقة

  1. عامل القنطرة على أنها مجزّئا جهد على المصدر نفسه.
  2. للاتزان ضع R₁/R₂ = R₃/R₄ وحُلّ لإيجاد المقاومة المجهولة.
  3. لقنطرة غير متزنة أوجد Va وVb من المجزّئين ثم اطرح؛ واستخدم مكافئ تيفينين حين يُحمِّل مقياسٌ الخرج.
  4. لمقاييس الانفعال حوّل الانفعال إلى ΔR/R = GF·ε واستخدم Vs·GF·ε/4 أو /2 أو ×1 لربع القنطرة أو نصفها أو كاملها.

اكتساب البيانات وأخذ العينات

معيار نيكويست
fs > 2·fmax, fN = fs/2
تردد التداخل الطيفي
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
حجم الخطوة
1 LSB = VFSR/2ᴺ
خطأ التكميم (بالتقريب)
±½ LSB
رمز المحوّل مع البتر
D = ⌊Vin/LSB⌋
عدد البتات لدقة r
2ᴺ ≥ span/r
نسبة SQNR المثالية لموجة جيبية بمدى كامل
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
معدل البيانات
القنوات × fs × N بت/ث
محوّل ADC متعدد القنوات
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud؛ 8N1 = 10 بتات لكل بايت؛ بايت/ث = baud/عدد بتات الإطار
مقسّم معدل الباود
baud = fclk/(16·D)

الطريقة

  1. دوّن المعطيات: معدل أخذ العينات، وترددات الإشارة، وعدد البتات، ومدى الدخل، ومعدل الباود.
  2. في أسئلة أخذ العينات، قارن كل تردد مع fs/2؛ والتردد الأعلى يظهر عند fa = |f − k·fs| حيث يكون k·fs أقرب مضاعف لـ fs.
  3. في أسئلة الدقة، أوجد 1 LSB = VFSR/2ᴺ، أو أصغر N يحقق 2ᴺ ≥ المدى/الدقة.
  4. في معدلات البيانات ووصلات UART، احسب كل ما يُرسل: القنوات، والعينات في الثانية، والبتات أو البايتات الكاملة لكل عينة، وبتات البدء والتكافؤ والإيقاف في كل إطار.

دوائر مكبّرات العمليات

المكبّر العاكس
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
المكبّر غير العاكس
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
المكبّر الجامع
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
مكبّر العمليات المثالي
V+ = V−, Iin = 0

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي
Req = R1 + R2 + …
مقاومات على التوازي
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
مقاومتان على التوازي
Req = R1R2 / (R1 + R2)
قانون أوم
V = I·R
القدرة
P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

  1. ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
  2. اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
  4. كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

ثيفنن ونورتن

جهد ثيفنن
Vth = Vopen circuit
مقاومة ثيفنن
Rth: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن
IN = Vth/Rth
تيار الحِمل
IL = Vth/(Rth + RL)
أقصى نقل للقدرة
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

الطريقة

  1. أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
  2. أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو Vth.
  3. أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي Rth.
  4. أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: Vth على التوالي مع Rth.
  5. لمكافئ نورتن، حوّل: IN = Vth/Rth، مع RN = Rth على التوازي.

2مسائل تدريبية

1.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعالمتوسطة
+−6 V220 Ω220 Ω + ΔR220 Ω220 Ωab+−14,93 mV

قنطرة ذات أربعة أذرع كل منها 220 Ω تُغذّى بـ 6 V. حين تتغير مقاومة المستشعر R₂ يقرأ الخرج Vab = 14,93 mV. أوجد التغير الدقيق ΔR في R₂.

Vs = 6 VR = 220 ΩVab = 14,93 mV
ΔR = Ω
2.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعالصعبة
+−V120 Ω120 Ω + ΔR120 Ω120 Ωab+−

مقياس انفعال مقاومته 120 Ω ومعامله 2,05 مُلصَق على قضيب فولاذي. تحت الحمل ترتفع مقاومته بمقدار 0,0984 Ω. أوجد الانفعال ε بالميكروانفعال (µε).

R = 120 ΩGF = 2,05ΔR = 0,0984 Ω
ε = µε
3.اكتساب البيانات وأخذ العيناتمتوسطة
Vin​N = 6VFSR​2ᴺ − 101 LSB

أوجد نسبة الإشارة إلى ضجيج التكميم المثالية SQNR لمحوّل ADC بـ 6 بت لموجة جيبية بمدى كامل.

N = 6
SQNR = dB
4.اكتساب البيانات وأخذ العيناتصعبة
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​PTb​11·Tb​57600 Bd, 8E1

يبث محوّل ADC بـ 10 بت كل عينة عبر UART بمعدل 57600 baud وبالصيغة 8E1 (بت بدء، و8 بتات بيانات، وتكافؤ زوجي، وبت إيقاف واحد). تُرسل كل عينة في 2 بايت كاملة والوصلة مشغولة طوال الوقت. أوجد أعلى تردد للإشارة fmax يمكن أخذ عيناته دون تداخل طيفي، بوحدة Hz.

baud = 57600 BdN = 108E1
fmax = Hz
5.دوائر مكبّرات العملياتمتوسطة
−+Vout​R2​ = 47 kΩV1​ = 1 VR1​ = 10 kΩV2​ = 0,5 VR3​ = 10 kΩR4​ = 47 kΩ

يستخدم مكبّر الفرق مكبّر عمليات مثاليًا بمصدرَي تغذية ±15 V، مع R3 = R1 و R4 = R2. أوجد جهد الخرج Vout.

V1 = 1 VV2 = 0,5 VR1 = R3 = 10 kΩR2 = R4 = 47 kΩ
Vout = V
6.دوائر مكبّرات العملياتصعبة
−+Vout​C = 2,2 µFVin​ = 2,8 VR = 100 kΩ

يستخدم المكامِل مكبّر عمليات مثاليًا بمصدرَي تغذية ±15 V؛ ويتشبّع خرجه عند ±12 V. المكثّف غير مشحون عند تطبيق دخل ثابت Vin = 2,8 V عند t = 0. بعد كم من t = 0 يبلغ الخرج التشبّع؟ أوجد t.

Vin = 2,8 VR = 100 kΩC = 2,2 µFVsat = ±12 V
t = ms
7.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة
R1​ = 2 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​18 VR2​2 ΩAR4​15 ΩB

أوجد المقاومة المكافئة Req التي يراها المصدر V1.

V1 = 18 VR1 = 2 ΩR2 = 2 ΩR3 = 20 ΩR4 = 15 Ω
Req = Ω
8.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة
R1​ = 8 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩAR4​8 ΩBR6​4 Ω

أوجد المقاومة المكافئة Req التي يراها المصدر V1.

V1 = 12 VR1 = 8 ΩR2 = 2 ΩR3 = 4 ΩR4 = 8 ΩR5 = 30 ΩR6 = 4 Ω
Req = Ω
9.ثيفنن ونورتنمتوسطة
R1​ = 12 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩAab

أوجد جهد ثيفنن Vth المرئي من الطرفين a–b.

V1 = 18 VR1 = 12 ΩR2 = 15 ΩR3 = 4 Ω
Vth = V
10.ثيفنن ونورتنصعبة
R1​ = 6 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​5 VR2​6 ΩAIs​2 ABab

أوجد جهد ثيفنن Vth المرئي من الطرفين a–b.

V1 = 5 VIs = 2 AR1 = 6 ΩR2 = 6 ΩR3 = 20 Ω
Vth = V

3المحاليل

1.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

الإجابة: ΔR = 2,201 Ω

قنطرة ويتستون: مجزّئا جهد يتشاركان مصدرًا واحدًا Vs. يعطي المجزّئ الأيسر R1–R2 الجهد Va = Vs·R2/(R1 + R2) ويعطي المجزّئ الأيمن R3–R4 الجهد Vb = Vs·R4/(R3 + R4)؛ والخرج هو Vab = Va − Vb. تكون القنطرة متزنة (Vab = 0، ولا تيار في المقياس) حين R1/R2 = R3/R4، أي R1·R4 = R2·R3. وإذا نُظر إليها من الخرج فهي مصدر تيفينين بمقاومة Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

جهد العقدة

Va = 3 + 0,01493 = 3,015 V

حُلّ المجزّئ

R₂ = 220·3,015/(6 − 3,015) = 222,2 Ω
ΔR = 222,2 − 220 = 2,201 Ω

الإجابة

ΔR = 2,201 Ω
2.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

الإجابة: ε = 400 µε

مقاييس الانفعال: تتغير مقاومة المقياس مع الانفعال: ΔR/R = GF·ε، حيث معامل المقياس GF نحو 2 للرقائق المعدنية. في قنطرة تكون فيها كل الأذرع مساوية لـ R، يعطي مقياس فعّال واحد (ربع قنطرة) Vo ≈ Vs·GF·ε/4. ويعطي مقياسان فعّالان بانفعالين متعاكسين في ذراعين متجاورين (نصف قنطرة) Vs·GF·ε/2، وأربعة مقاييس (قنطرة كاملة) تعطي Vs·GF·ε. ويأتي الإجهاد من قانون هوك، σ = E·ε. وتذكر خلايا الحمل حساسيتها بوحدة mV/V: الخرج عند الحمل الكامل لكل فولت من الإثارة.

التغير النسبي في المقاومة

ΔR/R = 0,0984/120 = 0,00082

الانفعال

ε = 0,00082/2,05 = 0,0004 = 400 µε

الإجابة

ε = 400 µε
3.اكتساب البيانات وأخذ العينات

الإجابة: SQNR = 37,88 dB

دقة ADC: يقسّم المحوّل ذو N بت مدى المقياس الكامل VFSR إلى 2ᴺ رمزًا، من 0 إلى 2ᴺ − 1. الخطوة الواحدة هي 1 LSB = VFSR/2ᴺ: أصغر تغيّر يستطيع المحوّل إظهاره. يعطي المحوّل ذو البتر الرمز ⌊Vin/LSB⌋؛ أما المحوّل ذو التقريب فلا يبعد أبدًا أكثر من ½ LSB عن القيمة الحقيقية، وهذا خطأ التكميم له. كل بت إضافي يُنصّف LSB ويضيف نحو 6 dB إلى نسبة الإشارة إلى ضجيج التكميم المثالية SQNR = 6,02·N + 1,76 dB لموجة جيبية بمدى كامل. لبلوغ دقة r على مدى معيّن، اختر أصغر N يحقق 2ᴺ ≥ المدى/r.

SQNR المثالية

SQNR = 6,02·6 + 1,76 = 37,88 dB

الإجابة

SQNR = 37,88 dB
4.اكتساب البيانات وأخذ العينات

الإجابة: fmax = 1309 Hz

UART: وصلة تسلسلية غير متزامنة ترسل كل بايت في إطار: بت بدء واحد (منخفض)، وبتات البيانات، وبت تكافؤ اختياري، وبت إيقاف أو بتّا إيقاف (مرتفع). معدل الباود هو عدد البتات في الثانية، لذا يستغرق البت الواحد Tb = 1/baud ويستغرق إطار من n بت زمن n/baud. للصيغة الشائعة 8N1 عشرة بتات لكل بايت. يقسم مولّد الباود تردد الساعة: baud = fclk/(16·D) مع عدد صحيح D، فيختلف معدل الباود الفعلي قليلًا عن المطلوب؛ وخطأ أقل من نحو 2 % مقبول عادةً.

البتات لكل عينة على الخط

2·11 = 22 bit

أعلى معدل لأخذ العينات

fs,max = 57600/22 = 2618 Hz

حد نيكويست

fmax = 2618/2 = 1309 Hz

الإجابة

fmax = 1309 Hz
5.دوائر مكبّرات العمليات

الإجابة: Vout = −2,35 V

قواعد مكبّر العمليات المثالي: مع التغذية الراجعة السالبة، يضبط المكبّر خرجه بحيث يكون دخلاه على الجهد نفسه (V₋ = V₊)، ولا يدخل أي تيار إلى أي من الدخلين. كتابة قانون كيرشوف للتيار عند الدخل العاكس مع هاتين الحقيقتين تعطي الخرج.

الجهد عند الدخلين

R₃ و R₄ يحملان التيار نفسه، لذا يشكّلان مقسّم جهد؛ والتغذية الراجعة تجعل V₋ = V₊.

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 0,5·47/(10 + 47) = 0,4123 V
V₋ = V₊

قانون كيرشوف للتيار عند الدخل العاكس

(1 − 0,4123)/10 = (0,4123 − Vout)/47
Vout = (R2/R1)·(V2 − V1) = (47/10)·(0,5 − 1) = −2,35 V

الإجابة

Vout = −2,35 V
6.دوائر مكبّرات العمليات

الإجابة: t = 942,9 ms

قواعد مكبّر العمليات المثالي: مع التغذية الراجعة السالبة، يضبط المكبّر خرجه بحيث يكون دخلاه على الجهد نفسه (V₋ = V₊)، ولا يدخل أي تيار إلى أي من الدخلين. كتابة قانون كيرشوف للتيار عند الدخل العاكس مع هاتين الحقيقتين تعطي الخرج.

تيار الدخل ومعدّل التغيّر

kΩ مضروبة في µF تعطي ميلي ثانية.

RC = 100 kΩ · 2,2 µF = 220 ms
معدّل التغيّر = −Vin/(RC) = −2,8/220 = −0,01273 V/ms

الزمن حتى التشبّع

|Vin|·t/(RC) = Vsat → t = Vsat·RC/|Vin| = 12·220/2,8 = 942,9 ms

الإجابة

t = 942,9 ms
7.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: Req = 3,892 Ω

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

R1​ = 2 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​18 VR2​2 ΩAR4​15 ΩB

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R3 + R4 = 20 + 15 = 35 Ω
R2 ∥ 35 = 2·35/(2+35) = 1,892 Ω
Req = R1 + 1,892 = 2 + 1,892 = 3,892 Ω

الإجابة

Req = 3,892 Ω
8.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: Req = 9,679 Ω

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

R1​ = 8 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩAR4​8 ΩBR6​4 Ω

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R5 + R6 = 30 + 4 = 34 Ω
R4 ∥ 34 = 6,476 Ω
R3 + 6,476 = 10,48 Ω
R2 ∥ 10,48 = 1,679 Ω
Req = R1 + 1,679 = 8 + 1,679 = 9,679 Ω

الإجابة

Req = 9,679 Ω
9.ثيفنن ونورتن

الإجابة: Vth = 10 V

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.

R1​ = 12 ΩR3​ = 4 ΩقصرR2​15 ΩAabRth​

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R1 ∥ R2 = 12·15/(12+15) = 6,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6,667 + 4 = 10,67 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩAab+−Vth​

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·15/(12+15) = 10 V
10.ثيفنن ونورتن

الإجابة: Vth = −43,5 V

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.

R1​ = 6 ΩR3​ = 20 ΩقصرR2​6 ΩAمفتوحBabRth​

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R1 ∥ R2 = 6·6/(6+6) = 3 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3 + 20 = 23 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​5 VR2​6 ΩAIs​2 ABab+−Vth​

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2,5 + (−2)·3 = −3,5 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −3,5 + (−2)·20 = −43,5 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation