القياس والأجهزة: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

جهود المجزّئات
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
المخرَج
Vab = Va − Vb
التوازن
R1/R2 = R3/R4
القنطرة ذات السلك المنزلق
R/Rx = l/(100 − l)
مقاومة ثيفنن
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
معامل المقياس
ΔR/R = GF·ε
خرج القنطرة
ربع Vs·GF·ε/4، نصف Vs·GF·ε/2، كامل Vs·GF·ε
التغير الصغير، ذراع واحد
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
الإجهاد
σ = E·ε

الطريقة

  1. عامل القنطرة على أنها مجزّئا جهد على المصدر نفسه.
  2. للاتزان ضع R₁/R₂ = R₃/R₄ وحُلّ لإيجاد المقاومة المجهولة.
  3. لقنطرة غير متزنة أوجد Va وVb من المجزّئين ثم اطرح؛ واستخدم مكافئ تيفينين حين يُحمِّل مقياسٌ الخرج.
  4. لمقاييس الانفعال حوّل الانفعال إلى ΔR/R = GF·ε واستخدم Vs·GF·ε/4 أو /2 أو ×1 لربع القنطرة أو نصفها أو كاملها.

اكتساب البيانات وأخذ العينات

معيار نيكويست
fs > 2·fmax, fN = fs/2
تردد التداخل الطيفي
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
حجم الخطوة
1 LSB = VFSR/2ᴺ
خطأ التكميم (بالتقريب)
±½ LSB
رمز المحوّل مع البتر
D = ⌊Vin/LSB⌋
عدد البتات لدقة r
2ᴺ ≥ span/r
نسبة SQNR المثالية لموجة جيبية بمدى كامل
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
معدل البيانات
القنوات × fs × N بت/ث
محوّل ADC متعدد القنوات
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud؛ 8N1 = 10 بتات لكل بايت؛ بايت/ث = baud/عدد بتات الإطار
مقسّم معدل الباود
baud = fclk/(16·D)

الطريقة

  1. دوّن المعطيات: معدل أخذ العينات، وترددات الإشارة، وعدد البتات، ومدى الدخل، ومعدل الباود.
  2. في أسئلة أخذ العينات، قارن كل تردد مع fs/2؛ والتردد الأعلى يظهر عند fa = |f − k·fs| حيث يكون k·fs أقرب مضاعف لـ fs.
  3. في أسئلة الدقة، أوجد 1 LSB = VFSR/2ᴺ، أو أصغر N يحقق 2ᴺ ≥ المدى/الدقة.
  4. في معدلات البيانات ووصلات UART، احسب كل ما يُرسل: القنوات، والعينات في الثانية، والبتات أو البايتات الكاملة لكل عينة، وبتات البدء والتكافؤ والإيقاف في كل إطار.

دوائر مكبّرات العمليات

المكبّر العاكس
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
المكبّر غير العاكس
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
المكبّر الجامع
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
مكبّر العمليات المثالي
V+ = V−, Iin = 0

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي
Req = R1 + R2 + …
مقاومات على التوازي
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
مقاومتان على التوازي
Req = R1R2 / (R1 + R2)
قانون أوم
V = I·R
القدرة
P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

  1. ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
  2. اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
  4. كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

ثيفنن ونورتن

جهد ثيفنن
Vth = Vopen circuit
مقاومة ثيفنن
Rth: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن
IN = Vth/Rth
تيار الحِمل
IL = Vth/(Rth + RL)
أقصى نقل للقدرة
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

الطريقة

  1. أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
  2. أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو Vth.
  3. أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي Rth.
  4. أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: Vth على التوالي مع Rth.
  5. لمكافئ نورتن، حوّل: IN = Vth/Rth، مع RN = Rth على التوازي.

2مسائل تدريبية

1.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعالمتوسطة
+−6 V500 Ω500 Ω500 Ω500 Ωab+−

مقياس انفعال مقاومته 500 Ω هو أحد أذرع (R₂) قنطرة ذات أربعة أذرع متساوية قدرها 500 Ω بإثارة 6 V. أوجد القدرة Pg المبددة في المقياس، بوحدة mW. التسخين الذاتي يحدّ الإثارة.

Vs = 6 VR = 500 Ω
Pg = mW
2.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعالصعبة
+−3 V120 Ω − ΔR120 Ω + ΔR120 Ω + ΔR120 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

قنطرة أذرعها 120 Ω تُثار بـ 3 V وفيها أربعة مقاييس فعّالة، اثنان في الشد واثنان في الانضغاط (قنطرة كاملة). معامل المقياس 2,05 والانفعال 1200 µε. أوجد خرج القنطرة Vo بوحدة mV.

Vs = 3 VGF = 2,05ε = 1200 µε
Vo = mV
3.اكتساب البيانات وأخذ العيناتمتوسطة
Vin​N = 24VFSR​2ᴺ − 101 LSB

أوجد نسبة الإشارة إلى ضجيج التكميم المثالية SQNR لمحوّل ADC بـ 24 بت لموجة جيبية بمدى كامل.

N = 24
SQNR = dB
4.اكتساب البيانات وأخذ العيناتصعبة
f0fs​/2fs​7,5 kHz5f₁?

تؤخذ عينات موجة مربعة 7,5 kHz بمعدل 50 kHz دون مرشح مضاد للتداخل. تحتوي الموجة المربعة على التوافقيات الفردية 3f₁ و5f₁ و7f₁ وهكذا. عند أي تردد fa يظهر التوافقي 5f₁ في البيانات المأخوذة؟ أعطه بوحدة kHz.

f₁ = 7,5 kHzfs = 50 kHzالتوافقي: 5f₁
fa = kHz
5.دوائر مكبّرات العملياتمتوسطة
−+Vout​R2​ = 22 kΩV1​ = −1 VR1​ = 100 kΩV2​ = 2,6 VR3​ = 100 kΩR4​ = 22 kΩ

يستخدم مكبّر الفرق مكبّر عمليات مثاليًا بمصدرَي تغذية ±15 V، مع R3 = R1 و R4 = R2. أوجد جهد الخرج Vout.

V1 = −1 VV2 = 2,6 VR1 = R3 = 100 kΩR2 = R4 = 22 kΩ
Vout = V
6.دوائر مكبّرات العملياتصعبة
−+Vout​Rf​ = 47 kΩV1​ = −0,3 VR1​ = 10 kΩV2​ = 0,9 VR2​ = 22 kΩIf​

يستخدم المكبّر الجامع مكبّر عمليات مثاليًا بمصدرين ±15 V. أوجد التيار If عبر مقاومة التغذية الراجعة المتّجه نحو الخرج.

V1 = −0,3 VV2 = 0,9 VR1 = 10 kΩR2 = 22 kΩRf = 47 kΩ
If = mA
7.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة
R1​ = 15 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩIR2​AR4​20 ΩB

أوجد التيار IR2 عبر R2.

V1 = 30 VR1 = 15 ΩR2 = 3 ΩR3 = 10 ΩR4 = 20 Ω
IR2 = A
8.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة
R1​ = 3 ΩIR1​R3​ = 20 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​10 VR2​3 ΩAR4​5 ΩBR6​12 Ω

أوجد التيار IR1 الذي يورّده المصدر، والذي يمرّ عبر R1.

V1 = 10 VR1 = 3 ΩR2 = 3 ΩR3 = 20 ΩR4 = 5 ΩR5 = 25 ΩR6 = 12 Ω
IR1 = A
9.ثيفنن ونورتنمتوسطة
R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​20 ΩAab

أوجد جهد ثيفنن Vth المرئي من الطرفين a–b.

V1 = 10 VR1 = 3 ΩR2 = 20 ΩR3 = 2 Ω
Vth = V
10.ثيفنن ونورتنصعبة
R1​ = 5 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​5 VR2​10 ΩAIs​4 ABab

أوجد جهد ثيفنن Vth المرئي من الطرفين a–b.

V1 = 5 VIs = 4 AR1 = 5 ΩR2 = 10 ΩR3 = 10 Ω
Vth = V

3المحاليل

1.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

الإجابة: Pg = 18 mW

قنطرة ويتستون: مجزّئا جهد يتشاركان مصدرًا واحدًا Vs. يعطي المجزّئ الأيسر R1–R2 الجهد Va = Vs·R2/(R1 + R2) ويعطي المجزّئ الأيمن R3–R4 الجهد Vb = Vs·R4/(R3 + R4)؛ والخرج هو Vab = Va − Vb. تكون القنطرة متزنة (Vab = 0، ولا تيار في المقياس) حين R1/R2 = R3/R4، أي R1·R4 = R2·R3. وإذا نُظر إليها من الخرج فهي مصدر تيفينين بمقاومة Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

الجهد على المقياس

V = 6/2 = 3 V

القدرة

Pg = 3²/500 = 18 mW

الإجابة

Pg = 18 mW
2.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

الإجابة: Vo = 7,38 mV

مقاييس الانفعال: تتغير مقاومة المقياس مع الانفعال: ΔR/R = GF·ε، حيث معامل المقياس GF نحو 2 للرقائق المعدنية. في قنطرة تكون فيها كل الأذرع مساوية لـ R، يعطي مقياس فعّال واحد (ربع قنطرة) Vo ≈ Vs·GF·ε/4. ويعطي مقياسان فعّالان بانفعالين متعاكسين في ذراعين متجاورين (نصف قنطرة) Vs·GF·ε/2، وأربعة مقاييس (قنطرة كاملة) تعطي Vs·GF·ε. ويأتي الإجهاد من قانون هوك، σ = E·ε. وتذكر خلايا الحمل حساسيتها بوحدة mV/V: الخرج عند الحمل الكامل لكل فولت من الإثارة.

التغير النسبي في المقاومة

ΔR/R = 2,05·1200·10⁻⁶ = 0,00246

خرج القنطرة

Vo = Vs·GF·ε = 3·0,00246 = 7,38 mV

الإجابة

Vo = 7,38 mV
3.اكتساب البيانات وأخذ العينات

الإجابة: SQNR = 146,2 dB

دقة ADC: يقسّم المحوّل ذو N بت مدى المقياس الكامل VFSR إلى 2ᴺ رمزًا، من 0 إلى 2ᴺ − 1. الخطوة الواحدة هي 1 LSB = VFSR/2ᴺ: أصغر تغيّر يستطيع المحوّل إظهاره. يعطي المحوّل ذو البتر الرمز ⌊Vin/LSB⌋؛ أما المحوّل ذو التقريب فلا يبعد أبدًا أكثر من ½ LSB عن القيمة الحقيقية، وهذا خطأ التكميم له. كل بت إضافي يُنصّف LSB ويضيف نحو 6 dB إلى نسبة الإشارة إلى ضجيج التكميم المثالية SQNR = 6,02·N + 1,76 dB لموجة جيبية بمدى كامل. لبلوغ دقة r على مدى معيّن، اختر أصغر N يحقق 2ᴺ ≥ المدى/r.

SQNR المثالية

SQNR = 6,02·24 + 1,76 = 146,2 dB

الإجابة

SQNR = 146,2 dB
4.اكتساب البيانات وأخذ العينات

الإجابة: fa = 12,5 kHz

أخذ العينات: يقيس محوّل ADC الإشارة fs مرة في الثانية. وبحسب نظرية نيكويست–شانون لا يُلتقط التردد f بشكل صحيح إلا ما دام f < fs/2، وهو تردد نيكويست (تردد الانعكاس)، لذا يجب أن يتجاوز معدل أخذ العينات ضعف أعلى تردد في الإشارة. التردد الأعلى لا يضيع: بل يظهر كـتردد مستعار عند fa = |f − k·fs|، حيث k العدد الصحيح الذي يجعل النتيجة بين 0 وfs/2. لا تستطيع العينات التمييز بين الاثنين، لذا يجب أن يزيل مرشح تماثلي مضاد للتداخل كل ما يزيد على fs/2 قبل محوّل ADC.

تردد التوافقي

5f₁ = 5·7,5 kHz = 37,5 kHz

أقرب مضاعف لمعدل أخذ العينات

m = round(0,75) = 1

تردد التداخل الطيفي

fa = |37,5 − 1·50| = 12,5 kHz

الإجابة

fa = 12,5 kHz

يقع التردد المستعار داخل نطاق الإشارة، حيث لا يستطيع أي مرشح رقمي إزالته. لا يفيد إلا مرشح تماثلي قبل محوّل ADC.

5.دوائر مكبّرات العمليات

الإجابة: Vout = 0,792 V

قواعد مكبّر العمليات المثالي: مع التغذية الراجعة السالبة، يضبط المكبّر خرجه بحيث يكون دخلاه على الجهد نفسه (V₋ = V₊)، ولا يدخل أي تيار إلى أي من الدخلين. كتابة قانون كيرشوف للتيار عند الدخل العاكس مع هاتين الحقيقتين تعطي الخرج.

الجهد عند الدخلين

R₃ و R₄ يحملان التيار نفسه، لذا يشكّلان مقسّم جهد؛ والتغذية الراجعة تجعل V₋ = V₊.

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 2,6·22/(100 + 22) = 0,4689 V
V₋ = V₊

قانون كيرشوف للتيار عند الدخل العاكس

(−1 − 0,4689)/100 = (0,4689 − Vout)/22
Vout = (R2/R1)·(V2 − V1) = (22/100)·(2,6 − (−1)) = 0,792 V

الإجابة

Vout = 0,792 V
6.دوائر مكبّرات العمليات

الإجابة: If = 0,01091 mA

قواعد مكبّر العمليات المثالي: مع التغذية الراجعة السالبة، يضبط المكبّر خرجه بحيث يكون دخلاه على الجهد نفسه (V₋ = V₊)، ولا يدخل أي تيار إلى أي من الدخلين. كتابة قانون كيرشوف للتيار عند الدخل العاكس مع هاتين الحقيقتين تعطي الخرج.

تيارات الدخل

V₋ = 0، لذا يقع على كل مقاومة دخل كامل جهد دخلها.

I1 = V1/R1 = −0,3/10 = −0,03 mA
I2 = V2/R2 = 0,9/22 = 0,04091 mA
If = I1 + I2 = 0,01091 mA

الإجابة

If = 0,01091 mA
7.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: IR2 = 1,538 A

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

R1​ = 15 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩAR4​20 ΩB

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R3 + R4 = 10 + 20 = 30 Ω
R2 ∥ 30 = 3·30/(3+30) = 2,727 Ω
Req = R1 + 2,727 = 15 + 2,727 = 17,73 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا Req، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

IR1 = V1/Req = 30/17,73 = 1,692 A

التيار عبر R₂

اطرح الهبوط على R₁ لتحصل على الجهد عند العقدة A، وهو الجهد على R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 1,692·15 = 4,615 V
IR2 = VA/R2 = 4,615/3 = 1,538 A

الإجابة

IR2 = 1,538 A
8.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: IR1 = 1,763 A

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

R1​ = 3 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​10 VR2​3 ΩAR4​5 ΩBR6​12 Ω

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R5 + R6 = 25 + 12 = 37 Ω
R4 ∥ 37 = 4,405 Ω
R3 + 4,405 = 24,4 Ω
R2 ∥ 24,4 = 2,672 Ω
Req = R1 + 2,672 = 3 + 2,672 = 5,672 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا Req، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

IR1 = V1/Req = 10/5,672 = 1,763 A

الإجابة

IR1 = 1,763 A
9.ثيفنن ونورتن

الإجابة: Vth = 8,696 V

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.

R1​ = 3 ΩR3​ = 2 ΩقصرR2​20 ΩAabRth​

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R1 ∥ R2 = 3·20/(3+20) = 2,609 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,609 + 2 = 4,609 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​20 ΩAab+−Vth​

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·20/(3+20) = 8,696 V
10.ثيفنن ونورتن

الإجابة: Vth = 56,67 V

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.

R1​ = 5 ΩR3​ = 10 ΩقصرR2​10 ΩAمفتوحBabRth​

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R1 ∥ R2 = 5·10/(5+10) = 3,333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,333 + 10 = 13,33 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​5 VR2​10 ΩAIs​4 ABab+−Vth​

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3,333 + 4·3,333 = 16,67 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 16,67 + 4·10 = 56,67 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation