القياس والأجهزة: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

جهود المجزّئات: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
المخرَج: V_ab = V_a − V_b
التوازن: R₁/R₂ = R₃/R₄
القنطرة ذات السلك المنزلق: R/R_x = l/(100 − l)
مقاومة ثيفنن: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
معامل المقياس: ΔR/R = GF·ε
خرج القنطرة: ربع V_s·GF·ε/4، نصف V_s·GF·ε/2، كامل V_s·GF·ε
التغير الصغير، ذراع واحد: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
الإجهاد: σ = E·ε

الطريقة

عامل القنطرة على أنها مجزّئا جهد على المصدر نفسه.
للاتزان ضع R₁/R₂ = R₃/R₄ وحُلّ لإيجاد المقاومة المجهولة.
لقنطرة غير متزنة أوجد V_a وV_b من المجزّئين ثم اطرح؛ واستخدم مكافئ تيفينين حين يُحمِّل مقياسٌ الخرج.
لمقاييس الانفعال حوّل الانفعال إلى ΔR/R = GF·ε واستخدم V_s·GF·ε/4 أو /2 أو ×1 لربع القنطرة أو نصفها أو كاملها.

اكتساب البيانات وأخذ العينات

معيار نيكويست: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
تردد التداخل الطيفي: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
حجم الخطوة: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
خطأ التكميم (بالتقريب): ±½ LSB
رمز المحوّل مع البتر: D = ⌊V_in/LSB⌋
عدد البتات لدقة r: 2ᴺ ≥ span/r
نسبة SQNR المثالية لموجة جيبية بمدى كامل: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
معدل البيانات: القنوات × f_s × N بت/ث
محوّل ADC متعدد القنوات: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud؛ 8N1 = 10 بتات لكل بايت؛ بايت/ث = baud/عدد بتات الإطار
مقسّم معدل الباود: baud = f_clk/(16·D)

الطريقة

دوّن المعطيات: معدل أخذ العينات، وترددات الإشارة، وعدد البتات، ومدى الدخل، ومعدل الباود.
في أسئلة أخذ العينات، قارن كل تردد مع f_s/2؛ والتردد الأعلى يظهر عند f_a = |f − k·f_s| حيث يكون k·f_s أقرب مضاعف لـ f_s.
في أسئلة الدقة، أوجد 1 LSB = V_FSR/2ᴺ، أو أصغر N يحقق 2ᴺ ≥ المدى/الدقة.
في معدلات البيانات ووصلات UART، احسب كل ما يُرسل: القنوات، والعينات في الثانية، والبتات أو البايتات الكاملة لكل عينة، وبتات البدء والتكافؤ والإيقاف في كل إطار.

دوائر مكبّرات العمليات

المكبّر العاكس: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
المكبّر غير العاكس: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
المكبّر الجامع: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
مكبّر العمليات المثالي: V₊ = V₋, I_in = 0

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي: R_eq = R₁ + R₂ + …
مقاومات على التوازي: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
مقاومتان على التوازي: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
قانون أوم: V = I·R
القدرة: P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

ثيفنن ونورتن

جهد ثيفنن: V_th = V_{open circuit}
مقاومة ثيفنن: R_th: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن: I_N = V_th/R_th
تيار الحِمل: I_L = V_th/(R_th + R_L)
أقصى نقل للقدرة: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

الطريقة

أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو V_th.
أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي R_th.
أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: V_th على التوالي مع R_th.
لمكافئ نورتن، حوّل: I_N = V_th/R_th، مع R_N = R_th على التوازي.

2مسائل تدريبية

1.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعالمتوسطة

لقنطرة أربعة أذرع كل منها 220 Ω وV_s = 10 V. تزداد مقاومة المستشعر R₂ بمقدار ΔR = 0,22 Ω. باستخدام تقريب التغير الصغير، أوجد الخرج V_ab بوحدة mV.

V_s = 10 VR = 220 ΩΔR = 0,22 Ω

V_ab = mV

2.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعالصعبة

قنطرة أذرعها 120 Ω تُثار بـ 3 V وفيها مقياسان فعّالان في ذراعين متجاورين، أحدهما في الشد والآخر في الانضغاط (نصف قنطرة). معامل المقياس 2 والانفعال 500 µε. أوجد خرج القنطرة V_o بوحدة mV.

V_s = 3 VGF = 2ε = 500 µε

V_o = mV

3.اكتساب البيانات وأخذ العيناتمتوسطة

تؤخذ عينات موجة جيبية 70 kHz بمعدل 100 kHz دون مرشح مضاد للتداخل. عند أي تردد f_a تظهر في العينات؟ أعطه بوحدة kHz.

f = 70 kHzf_s = 100 kHz

f_a = kHz

4.اكتساب البيانات وأخذ العيناتصعبة

يعطي مستشعر حرارة 20 mV/°C (0 V عند 0 °C). تُكبَّر إشارته 5 مرة وتُغذّى إلى محوّل ADC بـ 10 بت ومدى من 0 إلى 3,3 V (1 LSB = V_FSR/2ᴺ). أوجد تغيّر الحرارة ΔT_LSB الذي يقابل LSB واحدًا.

S = 20 mV/°CG = 5N = 10V_FSR = 3,3 V

ΔT_LSB = °C

5.دوائر مكبّرات العملياتمتوسطة

مكبّر العمليات مثالي ويعمل بمصدرين ±15 V. أوجد جهد الخرج V_out.

V_in = 2,5 VR_a = 100 kΩR_b = 10 kΩR₁ = 2 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

6.دوائر مكبّرات العملياتصعبة

يستخدم المكامِل مكبّر عمليات مثاليًا بمصدرَي تغذية ±15 V؛ ويتشبّع خرجه عند ±12 V. المكثّف غير مشحون عند تطبيق دخل ثابت V_in = −1,9 V عند t = 0. بعد كم من t = 0 يبلغ الخرج التشبّع؟ أوجد t.

V_in = −1,9 VR = 100 kΩC = 0,1 µFV_sat = ±12 V

t = ms

7.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة

أوجد التيار I_R2 عبر R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 6 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

8.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة

أوجد التيار I_R2 عبر R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 2 Ω

I_R2 = A

9.ثيفنن ونورتنمتوسطة

أوجد مقاومة ثيفنن R_th المرئية من الطرفين a–b.

V₁ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 2 Ω

R_th = Ω

10.ثيفنن ونورتنصعبة

وُصل حِمل R_L = 20 Ω بين a–b. استبدل بقية الدائرة بمكافئ ثيفنن وأوجد تيار الحِمل I_L.

V₁ = 24 VI_s = 2 AR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 8 ΩR_L = 20 Ω

I_L = A

3المحاليل

1.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

الإجابة: V_ab = 2,5 mV

قنطرة ويتستون: مجزّئا جهد يتشاركان مصدرًا واحدًا V_s. يعطي المجزّئ الأيسر R₁–R₂ الجهد V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) ويعطي المجزّئ الأيمن R₃–R₄ الجهد V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)؛ والخرج هو V_ab = V_a − V_b. تكون القنطرة متزنة (V_ab = 0، ولا تيار في المقياس) حين R₁/R₂ = R₃/R₄، أي R₁·R₄ = R₂·R₃. وإذا نُظر إليها من الخرج فهي مصدر تيفينين بمقاومة R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

التغير النسبي

ΔR/R = 0,22/220 = 0,001

الخرج الخطي

V_ab ≈ 10·0,001/4 = 2,5 mV

الإجابة

V_ab = 2,5 mV

القيمة الدقيقة 2,499 mV؛ والتقريب جيد ما دام ΔR/R صغيرًا.

2.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

الإجابة: V_o = 1,5 mV

مقاييس الانفعال: تتغير مقاومة المقياس مع الانفعال: ΔR/R = GF·ε، حيث معامل المقياس GF نحو 2 للرقائق المعدنية. في قنطرة تكون فيها كل الأذرع مساوية لـ R، يعطي مقياس فعّال واحد (ربع قنطرة) V_o ≈ V_s·GF·ε/4. ويعطي مقياسان فعّالان بانفعالين متعاكسين في ذراعين متجاورين (نصف قنطرة) V_s·GF·ε/2، وأربعة مقاييس (قنطرة كاملة) تعطي V_s·GF·ε. ويأتي الإجهاد من قانون هوك، σ = E·ε. وتذكر خلايا الحمل حساسيتها بوحدة mV/V: الخرج عند الحمل الكامل لكل فولت من الإثارة.

التغير النسبي في المقاومة

ΔR/R = 2·500·10⁻⁶ = 0,001

خرج القنطرة

V_o = V_s·GF·ε/2 = 3·0,001/2 = 1,5 mV

الإجابة

V_o = 1,5 mV

3.اكتساب البيانات وأخذ العينات

الإجابة: f_a = 30 kHz

أخذ العينات: يقيس محوّل ADC الإشارة f_s مرة في الثانية. وبحسب نظرية نيكويست–شانون لا يُلتقط التردد f بشكل صحيح إلا ما دام f < f_s/2، وهو تردد نيكويست (تردد الانعكاس)، لذا يجب أن يتجاوز معدل أخذ العينات ضعف أعلى تردد في الإشارة. التردد الأعلى لا يضيع: بل يظهر كـتردد مستعار عند f_a = |f − k·f_s|، حيث k العدد الصحيح الذي يجعل النتيجة بين 0 وf_s/2. لا تستطيع العينات التمييز بين الاثنين، لذا يجب أن يزيل مرشح تماثلي مضاد للتداخل كل ما يزيد على f_s/2 قبل محوّل ADC.

تردد نيكويست

f_s/2 = 50 kHz < f = 70 kHz

أقرب مضاعف لمعدل أخذ العينات

k = round(70/100) = 1

تردد التداخل الطيفي

f_a = |70 − 1·100| = 30 kHz

الإجابة

f_a = 30 kHz

المنحنى المتقطع في الشكل هو التردد المستعار: إنه يمر بالعينات نفسها تمامًا.

4.اكتساب البيانات وأخذ العينات

الإجابة: ΔT_LSB = 0,03223 °C

دقة ADC: يقسّم المحوّل ذو N بت مدى المقياس الكامل V_FSR إلى 2ᴺ رمزًا، من 0 إلى 2ᴺ − 1. الخطوة الواحدة هي 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: أصغر تغيّر يستطيع المحوّل إظهاره. يعطي المحوّل ذو البتر الرمز ⌊V_in/LSB⌋؛ أما المحوّل ذو التقريب فلا يبعد أبدًا أكثر من ½ LSB عن القيمة الحقيقية، وهذا خطأ التكميم له. كل بت إضافي يُنصّف LSB ويضيف نحو 6 dB إلى نسبة الإشارة إلى ضجيج التكميم المثالية SQNR = 6,02·N + 1,76 dB لموجة جيبية بمدى كامل. لبلوغ دقة r على مدى معيّن، اختر أصغر N يحقق 2ᴺ ≥ المدى/r.

حجم الخطوة

1 LSB = 3300/1024 = 3,223 mV

الحساسية عند ADC

20·5 = 100 mV/°C

دقة قياس الحرارة

ΔT_LSB = 3,223/100 = 0,03223 °C

الإجابة

ΔT_LSB = 0,03223 °C

يبلغ ADC المقياس الكامل عند 33 °C.

5.دوائر مكبّرات العمليات

الإجابة: V_out = 2,727 V

قواعد مكبّر العمليات المثالي: مع التغذية الراجعة السالبة، يضبط المكبّر خرجه بحيث يكون دخلاه على الجهد نفسه (V₋ = V₊)، ولا يدخل أي تيار إلى أي من الدخلين. كتابة قانون كيرشوف للتيار عند الدخل العاكس مع هاتين الحقيقتين تعطي الخرج.

الجهد عند الدخل +

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 2,5·10/(100 + 10) = 0,2273 V

الكسب غير العاكس

V₋ = V₊، والتيار المارّ في R₁ يمرّ أيضًا في R_f.

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 0,2273·(1 + 22/2) = 2,727 V

الإجابة

V_out = 2,727 V

6.دوائر مكبّرات العمليات

الإجابة: t = 63,16 ms

تيار الدخل ومعدّل التغيّر

kΩ مضروبة في µF تعطي ميلي ثانية.

RC = 100 kΩ · 0,1 µF = 10 ms

معدّل التغيّر = −V_in/(RC) = −(−1,9)/10 = 0,19 V/ms

الزمن حتى التشبّع

|V_in|·t/(RC) = V_sat → t = V_sat·RC/|V_in| = 12·10/1,9 = 63,16 ms

الإجابة

t = 63,16 ms

7.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: I_R2 = 0,1981 A

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R₃ + R₄ = 8 + 20 = 28 Ω

R₂ ∥ 28 = 20·28/(20+28) = 11,67 Ω

R_eq = R₁ + 11,67 = 6 + 11,67 = 17,67 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا R_eq، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/17,67 = 0,3396 A

التيار عبر R₂

اطرح الهبوط على R₁ لتحصل على الجهد عند العقدة A، وهو الجهد على R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,3396·6 = 3,962 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,962/20 = 0,1981 A

الإجابة

I_R2 = 0,1981 A

8.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: I_R2 = 0,4455 A

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

R₅ + R₆ = 3 + 2 = 5 Ω

R₄ ∥ 5 = 1,429 Ω

R₃ + 1,429 = 3,429 Ω

R₂ ∥ 3,429 = 1,263 Ω

R_eq = R₁ + 1,263 = 20 + 1,263 = 21,26 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا R_eq، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/21,26 = 0,7054 A

التيار عبر R₂

اطرح الهبوط على R₁ لتحصل على الجهد عند العقدة A، وهو الجهد على R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0,7054·20 = 0,8911 V

I_R2 = V_A/R₂ = 0,8911/2 = 0,4455 A

الإجابة

I_R2 = 0,4455 A

9.ثيفنن ونورتن

الإجابة: R_th = 3,429 Ω

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد V_th على التوالي مع مقاومة R_th. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار I_N = V_th/R_th على التوازي مع R_th.

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 2·5/(2+5) = 1,429 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,429 + 2 = 3,429 Ω

10.ثيفنن ونورتن

الإجابة: I_L = −0,129 A

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 4·12/(4+12) = 3 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3 + 8 = 11 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 18 + (−2)·3 = 12 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 12 + (−2)·8 = −4 V

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −4/(11 + 20) = −0,129 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

القياس والأجهزة: حزمة المراجعة المكثفة

1القوانين وطرق الحل

قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

الطريقة

اكتساب البيانات وأخذ العينات

الطريقة

دوائر مكبّرات العمليات

المقاومات على التوالي والتوازي

الطريقة

ثيفنن ونورتن

الطريقة

2مسائل تدريبية

3المحاليل

التغير النسبي

الخرج الخطي

الإجابة

التغير النسبي في المقاومة

خرج القنطرة

الإجابة

تردد نيكويست

أقرب مضاعف لمعدل أخذ العينات

تردد التداخل الطيفي

الإجابة

حجم الخطوة

الحساسية عند ADC

دقة قياس الحرارة

الإجابة

الجهد عند الدخل +

الكسب غير العاكس

الإجابة

تيار الدخل ومعدّل التغيّر

الزمن حتى التشبّع

الإجابة

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

التيار من المصدر

التيار عبر R₂

الإجابة

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

التيار من المصدر

التيار عبر R₂

الإجابة

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة