القياس والأجهزة: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

جهود المجزّئات: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
المخرَج: V_ab = V_a − V_b
التوازن: R₁/R₂ = R₃/R₄
القنطرة ذات السلك المنزلق: R/R_x = l/(100 − l)
مقاومة ثيفنن: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
معامل المقياس: ΔR/R = GF·ε
خرج القنطرة: ربع V_s·GF·ε/4، نصف V_s·GF·ε/2، كامل V_s·GF·ε
التغير الصغير، ذراع واحد: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
الإجهاد: σ = E·ε

الطريقة

عامل القنطرة على أنها مجزّئا جهد على المصدر نفسه.
للاتزان ضع R₁/R₂ = R₃/R₄ وحُلّ لإيجاد المقاومة المجهولة.
لقنطرة غير متزنة أوجد V_a وV_b من المجزّئين ثم اطرح؛ واستخدم مكافئ تيفينين حين يُحمِّل مقياسٌ الخرج.
لمقاييس الانفعال حوّل الانفعال إلى ΔR/R = GF·ε واستخدم V_s·GF·ε/4 أو /2 أو ×1 لربع القنطرة أو نصفها أو كاملها.

اكتساب البيانات وأخذ العينات

معيار نيكويست: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
تردد التداخل الطيفي: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
حجم الخطوة: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
خطأ التكميم (بالتقريب): ±½ LSB
رمز المحوّل مع البتر: D = ⌊V_in/LSB⌋
عدد البتات لدقة r: 2ᴺ ≥ span/r
نسبة SQNR المثالية لموجة جيبية بمدى كامل: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
معدل البيانات: القنوات × f_s × N بت/ث
محوّل ADC متعدد القنوات: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud؛ 8N1 = 10 بتات لكل بايت؛ بايت/ث = baud/عدد بتات الإطار
مقسّم معدل الباود: baud = f_clk/(16·D)

الطريقة

دوّن المعطيات: معدل أخذ العينات، وترددات الإشارة، وعدد البتات، ومدى الدخل، ومعدل الباود.
في أسئلة أخذ العينات، قارن كل تردد مع f_s/2؛ والتردد الأعلى يظهر عند f_a = |f − k·f_s| حيث يكون k·f_s أقرب مضاعف لـ f_s.
في أسئلة الدقة، أوجد 1 LSB = V_FSR/2ᴺ، أو أصغر N يحقق 2ᴺ ≥ المدى/الدقة.
في معدلات البيانات ووصلات UART، احسب كل ما يُرسل: القنوات، والعينات في الثانية، والبتات أو البايتات الكاملة لكل عينة، وبتات البدء والتكافؤ والإيقاف في كل إطار.

دوائر مكبّرات العمليات

المكبّر العاكس: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
المكبّر غير العاكس: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
المكبّر الجامع: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
مكبّر العمليات المثالي: V₊ = V₋, I_in = 0

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي: R_eq = R₁ + R₂ + …
مقاومات على التوازي: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
مقاومتان على التوازي: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
قانون أوم: V = I·R
القدرة: P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

ثيفنن ونورتن

جهد ثيفنن: V_th = V_{open circuit}
مقاومة ثيفنن: R_th: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن: I_N = V_th/R_th
تيار الحِمل: I_L = V_th/(R_th + R_L)
أقصى نقل للقدرة: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

الطريقة

أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو V_th.
أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي R_th.
أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: V_th على التوالي مع R_th.
لمكافئ نورتن، حوّل: I_N = V_th/R_th، مع R_N = R_th على التوازي.

2مسائل تدريبية

1.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعالمتوسطة

لقنطرة أربعة أذرع كل منها 150 Ω وV_s = 5 V. تزداد مقاومة المستشعر R₂ بمقدار ΔR = 22,5 Ω. أوجد الخرج الدقيق V_ab بوحدة mV.

V_s = 5 VR = 150 ΩΔR = 22,5 Ω

V_ab = mV

2.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعالصعبة

قنطرة أذرعها 350 Ω تُثار بـ 5 V وفيها مقياسان فعّالان في ذراعين متجاورين، أحدهما في الشد والآخر في الانضغاط (نصف قنطرة). معامل المقياس 2 والانفعال 1500 µε. أوجد خرج القنطرة V_o بوحدة mV.

V_s = 5 VGF = 2ε = 1500 µε

V_o = mV

3.اكتساب البيانات وأخذ العيناتمتوسطة

تؤخذ عينات موجة جيبية 3 kHz بمعدل 4 kHz دون مرشح مضاد للتداخل. عند أي تردد f_a تظهر في العينات؟ أعطه بوحدة Hz.

f = 3 kHzf_s = 4 kHz

f_a = Hz

4.اكتساب البيانات وأخذ العيناتصعبة

يبث محوّل ADC بـ 24 بت كل عينة عبر UART بمعدل 57600 baud وبالصيغة 8E1 (بت بدء، و8 بتات بيانات، وتكافؤ زوجي، وبت إيقاف واحد). تُرسل كل عينة في 3 بايت كاملة والوصلة مشغولة طوال الوقت. أوجد أعلى تردد للإشارة f_max يمكن أخذ عيناته دون تداخل طيفي، بوحدة Hz.

baud = 57600 BdN = 248E1

f_max = Hz

5.دوائر مكبّرات العملياتمتوسطة

مكبّر العمليات مثالي ويعمل من مصدرَي تغذية ±15 V؛ ويتشبّع خرجه عند ±14 V. يُغذّى المكبّر العاكس بموجة جيبية. أوجد أكبر سعة دخل V_in,max (القيمة القصوى) لا يُقصّ عندها الخرج.

R₁ = 1 kΩR_f = 47 kΩV_sat = ±14 V

V_in,max = V

6.دوائر مكبّرات العملياتصعبة

يستخدم المكبّر الجامع مكبّر عمليات مثاليًا بمصدرين ±15 V. أوجد جهد الخرج V_out.

V₁ = 1,7 VV₂ = −1,3 VR₁ = 2 kΩR₂ = 47 kΩR_f = 10 kΩ

V_out = V

7.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة

أوجد المقاومة المكافئة R_eq التي يراها المصدر V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 15 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 15 Ω

R_eq = Ω

8.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة

أوجد التيار I_R1 الذي يورّده المصدر، والذي يمرّ عبر R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 4 Ω

I_R1 = A

9.ثيفنن ونورتنمتوسطة

أوجد جهد ثيفنن V_th المرئي من الطرفين a–b.

V₁ = 30 VR₁ = 6 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 12 Ω

V_th = V

10.ثيفنن ونورتنصعبة

أوجد جهد ثيفنن V_th المرئي من الطرفين a–b.

V₁ = 6 VI_s = 5 AR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 3 Ω

V_th = V

3المحاليل

1.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

الإجابة: V_ab = 174,4 mV

قنطرة ويتستون: مجزّئا جهد يتشاركان مصدرًا واحدًا V_s. يعطي المجزّئ الأيسر R₁–R₂ الجهد V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) ويعطي المجزّئ الأيمن R₃–R₄ الجهد V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)؛ والخرج هو V_ab = V_a − V_b. تكون القنطرة متزنة (V_ab = 0، ولا تيار في المقياس) حين R₁/R₂ = R₃/R₄، أي R₁·R₄ = R₂·R₃. وإذا نُظر إليها من الخرج فهي مصدر تيفينين بمقاومة R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

جهود العقد

V_a = 5·172,5/322,5 = 2,674 V

V_b = 2,5 V

المخرَج

V_ab = 174,4 mV

الإجابة

V_ab = 174,4 mV

التقدير الخطي V_s·ΔR/(4R) = 187,5 mV أعلى من القيمة الدقيقة بنسبة 7,5 %: فربع القنطرة ليس خطيًا تمامًا.

2.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

الإجابة: V_o = 7,5 mV

مقاييس الانفعال: تتغير مقاومة المقياس مع الانفعال: ΔR/R = GF·ε، حيث معامل المقياس GF نحو 2 للرقائق المعدنية. في قنطرة تكون فيها كل الأذرع مساوية لـ R، يعطي مقياس فعّال واحد (ربع قنطرة) V_o ≈ V_s·GF·ε/4. ويعطي مقياسان فعّالان بانفعالين متعاكسين في ذراعين متجاورين (نصف قنطرة) V_s·GF·ε/2، وأربعة مقاييس (قنطرة كاملة) تعطي V_s·GF·ε. ويأتي الإجهاد من قانون هوك، σ = E·ε. وتذكر خلايا الحمل حساسيتها بوحدة mV/V: الخرج عند الحمل الكامل لكل فولت من الإثارة.

التغير النسبي في المقاومة

ΔR/R = 2·1500·10⁻⁶ = 0,003

خرج القنطرة

V_o = V_s·GF·ε/2 = 5·0,003/2 = 7,5 mV

الإجابة

V_o = 7,5 mV

3.اكتساب البيانات وأخذ العينات

الإجابة: f_a = 1000 Hz

أخذ العينات: يقيس محوّل ADC الإشارة f_s مرة في الثانية. وبحسب نظرية نيكويست–شانون لا يُلتقط التردد f بشكل صحيح إلا ما دام f < f_s/2، وهو تردد نيكويست (تردد الانعكاس)، لذا يجب أن يتجاوز معدل أخذ العينات ضعف أعلى تردد في الإشارة. التردد الأعلى لا يضيع: بل يظهر كـتردد مستعار عند f_a = |f − k·f_s|، حيث k العدد الصحيح الذي يجعل النتيجة بين 0 وf_s/2. لا تستطيع العينات التمييز بين الاثنين، لذا يجب أن يزيل مرشح تماثلي مضاد للتداخل كل ما يزيد على f_s/2 قبل محوّل ADC.

تردد نيكويست

f_s/2 = 2 kHz < f = 3 kHz

أقرب مضاعف لمعدل أخذ العينات

k = round(3000/4000) = 1

تردد التداخل الطيفي

f_a = |3000 − 1·4000| = 1000 Hz

الإجابة

f_a = 1000 Hz

المنحنى المتقطع في الشكل هو التردد المستعار: إنه يمر بالعينات نفسها تمامًا.

4.اكتساب البيانات وأخذ العينات

الإجابة: f_max = 872,7 Hz

UART: وصلة تسلسلية غير متزامنة ترسل كل بايت في إطار: بت بدء واحد (منخفض)، وبتات البيانات، وبت تكافؤ اختياري، وبت إيقاف أو بتّا إيقاف (مرتفع). معدل الباود هو عدد البتات في الثانية، لذا يستغرق البت الواحد T_b = 1/baud ويستغرق إطار من n بت زمن n/baud. للصيغة الشائعة 8N1 عشرة بتات لكل بايت. يقسم مولّد الباود تردد الساعة: baud = f_clk/(16·D) مع عدد صحيح D، فيختلف معدل الباود الفعلي قليلًا عن المطلوب؛ وخطأ أقل من نحو 2 % مقبول عادةً.

البتات لكل عينة على الخط

3·11 = 33 bit

أعلى معدل لأخذ العينات

f_s,max = 57600/33 = 1745 Hz

حد نيكويست

f_max = 1745/2 = 872,7 Hz

الإجابة

f_max = 872,7 Hz

5.دوائر مكبّرات العمليات

الإجابة: V_in,max = 0,2979 V

قواعد مكبّر العمليات المثالي: مع التغذية الراجعة السالبة، يضبط المكبّر خرجه بحيث يكون دخلاه على الجهد نفسه (V₋ = V₊)، ولا يدخل أي تيار إلى أي من الدخلين. كتابة قانون كيرشوف للتيار عند الدخل العاكس مع هاتين الحقيقتين تعطي الخرج.

الكسب

|A_v| = R_f/R₁ = 47/1 = 47

أكبر دخل قبل القصّ

V_in,max = V_sat/|A_v| = 14/47 = 0,2979 V

الإجابة

V_in,max = 0,2979 V

6.دوائر مكبّرات العمليات

الإجابة: V_out = −8,223 V

تيارات الدخل

V₋ = 0، لذا يقع على كل مقاومة دخل كامل جهد دخلها.

I₁ = V₁/R₁ = 1,7/2 = 0,85 mA

I₂ = V₂/R₂ = −1,3/47 = −0,02766 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0,8223 mA

جهد الخرج

V_out = −R_f·I_f = −10·0,8223 = −8,223 V

الإجابة

V_out = −8,223 V

7.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: R_eq = 18,96 Ω

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R₃ + R₄ = 4 + 15 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 5·19/(5+19) = 3,958 Ω

R_eq = R₁ + 3,958 = 15 + 3,958 = 18,96 Ω

الإجابة

R_eq = 18,96 Ω

8.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: I_R1 = 0,8246 A

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

R₅ + R₆ = 15 + 4 = 19 Ω

R₄ ∥ 19 = 3,958 Ω

R₃ + 3,958 = 28,96 Ω

R₂ ∥ 28,96 = 11,83 Ω

R_eq = R₁ + 11,83 = 10 + 11,83 = 21,83 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا R_eq، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/21,83 = 0,8246 A

الإجابة

I_R1 = 0,8246 A

9.ثيفنن ونورتن

الإجابة: V_th = 20 V

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد V_th على التوالي مع مقاومة R_th. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار I_N = V_th/R_th على التوازي مع R_th.

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 6·12/(6+12) = 4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4 + 12 = 16 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 30·12/(6+12) = 20 V

10.ثيفنن ونورتن

الإجابة: V_th = 36,67 V

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 4·20/(4+20) = 3,333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,333 + 3 = 6,333 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 5 + 5·3,333 = 21,67 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 21,67 + 5·3 = 36,67 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

القياس والأجهزة: حزمة المراجعة المكثفة

1القوانين وطرق الحل

قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

الطريقة

اكتساب البيانات وأخذ العينات

الطريقة

دوائر مكبّرات العمليات

المقاومات على التوالي والتوازي

الطريقة

ثيفنن ونورتن

الطريقة

2مسائل تدريبية

3المحاليل

جهود العقد

المخرَج

الإجابة

التغير النسبي في المقاومة

خرج القنطرة

الإجابة

تردد نيكويست

أقرب مضاعف لمعدل أخذ العينات

تردد التداخل الطيفي

الإجابة

البتات لكل عينة على الخط

أعلى معدل لأخذ العينات

حد نيكويست

الإجابة

الكسب

أكبر دخل قبل القصّ

الإجابة

تيارات الدخل

جهد الخرج

الإجابة

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

الإجابة

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

التيار من المصدر

الإجابة

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة