القياس والأجهزة: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

جهود المجزّئات
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
المخرَج
Vab = Va − Vb
التوازن
R1/R2 = R3/R4
القنطرة ذات السلك المنزلق
R/Rx = l/(100 − l)
مقاومة ثيفنن
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
معامل المقياس
ΔR/R = GF·ε
خرج القنطرة
ربع Vs·GF·ε/4، نصف Vs·GF·ε/2، كامل Vs·GF·ε
التغير الصغير، ذراع واحد
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
الإجهاد
σ = E·ε

الطريقة

  1. عامل القنطرة على أنها مجزّئا جهد على المصدر نفسه.
  2. للاتزان ضع R₁/R₂ = R₃/R₄ وحُلّ لإيجاد المقاومة المجهولة.
  3. لقنطرة غير متزنة أوجد Va وVb من المجزّئين ثم اطرح؛ واستخدم مكافئ تيفينين حين يُحمِّل مقياسٌ الخرج.
  4. لمقاييس الانفعال حوّل الانفعال إلى ΔR/R = GF·ε واستخدم Vs·GF·ε/4 أو /2 أو ×1 لربع القنطرة أو نصفها أو كاملها.

اكتساب البيانات وأخذ العينات

معيار نيكويست
fs > 2·fmax, fN = fs/2
تردد التداخل الطيفي
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
حجم الخطوة
1 LSB = VFSR/2ᴺ
خطأ التكميم (بالتقريب)
±½ LSB
رمز المحوّل مع البتر
D = ⌊Vin/LSB⌋
عدد البتات لدقة r
2ᴺ ≥ span/r
نسبة SQNR المثالية لموجة جيبية بمدى كامل
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
معدل البيانات
القنوات × fs × N بت/ث
محوّل ADC متعدد القنوات
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud؛ 8N1 = 10 بتات لكل بايت؛ بايت/ث = baud/عدد بتات الإطار
مقسّم معدل الباود
baud = fclk/(16·D)

الطريقة

  1. دوّن المعطيات: معدل أخذ العينات، وترددات الإشارة، وعدد البتات، ومدى الدخل، ومعدل الباود.
  2. في أسئلة أخذ العينات، قارن كل تردد مع fs/2؛ والتردد الأعلى يظهر عند fa = |f − k·fs| حيث يكون k·fs أقرب مضاعف لـ fs.
  3. في أسئلة الدقة، أوجد 1 LSB = VFSR/2ᴺ، أو أصغر N يحقق 2ᴺ ≥ المدى/الدقة.
  4. في معدلات البيانات ووصلات UART، احسب كل ما يُرسل: القنوات، والعينات في الثانية، والبتات أو البايتات الكاملة لكل عينة، وبتات البدء والتكافؤ والإيقاف في كل إطار.

دوائر مكبّرات العمليات

المكبّر العاكس
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
المكبّر غير العاكس
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
المكبّر الجامع
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
مكبّر العمليات المثالي
V+ = V−, Iin = 0

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي
Req = R1 + R2 + …
مقاومات على التوازي
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
مقاومتان على التوازي
Req = R1R2 / (R1 + R2)
قانون أوم
V = I·R
القدرة
P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

  1. ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
  2. اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
  4. كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

ثيفنن ونورتن

جهد ثيفنن
Vth = Vopen circuit
مقاومة ثيفنن
Rth: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن
IN = Vth/Rth
تيار الحِمل
IL = Vth/(Rth + RL)
أقصى نقل للقدرة
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

الطريقة

  1. أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
  2. أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو Vth.
  3. أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي Rth.
  4. أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: Vth على التوالي مع Rth.
  5. لمكافئ نورتن، حوّل: IN = Vth/Rth، مع RN = Rth على التوازي.

2مسائل تدريبية

1.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعالمتوسطة
+−6 V330 Ω330 Ω + ΔR330 Ω330 Ωab+−Vab​ = ?

لقنطرة أربعة أذرع كل منها 330 Ω وVs = 6 V. تزداد مقاومة المستشعر R₂ بمقدار ΔR = 1,32 Ω. باستخدام تقريب التغير الصغير، أوجد الخرج Vab بوحدة mV.

Vs = 6 VR = 330 ΩΔR = 1,32 Ω
Vab = mV
2.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعالصعبة
+−5 V1000 Ω1000 Ω + ΔR1000 Ω1000 Ωab+−2,5 mV

مقياس انفعال (GF = 2) على عنصر ذي E = 210 GPa يشكّل ربع قنطرة تُثار بـ 5 V. يقرأ الخرج 2,5 mV. أوجد الإجهاد المحوري σ بوحدة MPa.

Vs = 5 VGF = 2Vo = 2,5 mVE = 210 GPa
σ = MPa
3.اكتساب البيانات وأخذ العيناتمتوسطة
Vin​N = 6VFSR​2ᴺ − 101 LSB

أوجد نسبة الإشارة إلى ضجيج التكميم المثالية SQNR لمحوّل ADC بـ 6 بت لموجة جيبية بمدى كامل.

N = 6
SQNR = dB
4.اكتساب البيانات وأخذ العيناتصعبة
T10 mV/°C×2∿01N = 12, 2,5 V? °C/LSB

يعطي مستشعر حرارة 10 mV/°C (0 V عند 0 °C). تُكبَّر إشارته 2 مرة وتُغذّى إلى محوّل ADC بـ 12 بت ومدى من 0 إلى 2,5 V (1 LSB = VFSR/2ᴺ). أوجد تغيّر الحرارة ΔTLSB الذي يقابل LSB واحدًا.

S = 10 mV/°CG = 2N = 12VFSR = 2,5 V
ΔTLSB = °C
5.دوائر مكبّرات العملياتمتوسطة
−+Vout​R2​ = 10 kΩV1​ = 1,8 VR1​ = 4,7 kΩV2​ = −1,7 VR3​ = 4,7 kΩR4​ = 10 kΩ

يستخدم مكبّر الفرق مكبّر عمليات مثاليًا بمصدرَي تغذية ±15 V، مع R3 = R1 و R4 = R2. أوجد جهد الخرج Vout.

V1 = 1,8 VV2 = −1,7 VR1 = R3 = 4,7 kΩR2 = R4 = 10 kΩ
Vout = V
6.دوائر مكبّرات العملياتصعبة
Vin​V1​Vout​المرحلة 1: عاكسR1​ = 10 kΩRf1​ = 100 kΩالمرحلة 2: غير عاكسR2​ = 10 kΩRf2​ = 2 kΩ

مرحلتا مكبّر عمليات مثاليتان موصولتان على التتالي: مكبّر عاكس (R1، Rf1) يليه مكبّر غير عاكس (R2 إلى الأرضي، Rf2 في التغذية الراجعة). كلتاهما تعملان من مصدرَي تغذية ±15 V. الدخل Vin = −0,6 V. أوجد جهد الخرج Vout.

R1 = 10 kΩRf1 = 100 kΩR2 = 10 kΩRf2 = 2 kΩVin = −0,6 V
Vout = V
7.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة
R1​ = 6 ΩIR1​R3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAR4​2 ΩB

أوجد التيار IR1 الذي يورّده المصدر، والذي يمرّ عبر R1.

V1 = 12 VR1 = 6 ΩR2 = 20 ΩR3 = 10 ΩR4 = 2 Ω
IR1 = A
8.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة
R1​ = 20 ΩIR1​R3​ = 3 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩAR4​30 ΩBR6​8 Ω

أوجد التيار IR1 الذي يورّده المصدر، والذي يمرّ عبر R1.

V1 = 15 VR1 = 20 ΩR2 = 5 ΩR3 = 3 ΩR4 = 30 ΩR5 = 30 ΩR6 = 8 Ω
IR1 = A
9.ثيفنن ونورتنمتوسطة
R1​ = 3 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​9 VR2​10 ΩAab

أوجد جهد ثيفنن Vth المرئي من الطرفين a–b.

V1 = 9 VR1 = 3 ΩR2 = 10 ΩR3 = 4 Ω
Vth = V
10.ثيفنن ونورتنصعبة
R1​ = 12 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAIs​3 ABab

أوجد تيار نورتن IN: التيار الذي يسري من a إلى b إذا قُصر الطرفان.

V1 = 9 VIs = 3 AR1 = 12 ΩR2 = 4 ΩR3 = 5 Ω
IN = A

3المحاليل

1.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

الإجابة: Vab = 6 mV

قنطرة ويتستون: مجزّئا جهد يتشاركان مصدرًا واحدًا Vs. يعطي المجزّئ الأيسر R1–R2 الجهد Va = Vs·R2/(R1 + R2) ويعطي المجزّئ الأيمن R3–R4 الجهد Vb = Vs·R4/(R3 + R4)؛ والخرج هو Vab = Va − Vb. تكون القنطرة متزنة (Vab = 0، ولا تيار في المقياس) حين R1/R2 = R3/R4، أي R1·R4 = R2·R3. وإذا نُظر إليها من الخرج فهي مصدر تيفينين بمقاومة Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

التغير النسبي

ΔR/R = 1,32/330 = 0,004

الخرج الخطي

Vab ≈ 6·0,004/4 = 6 mV

الإجابة

Vab = 6 mV

القيمة الدقيقة 5,988 mV؛ والتقريب جيد ما دام ΔR/R صغيرًا.

2.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

الإجابة: σ = 210 MPa

مقاييس الانفعال: تتغير مقاومة المقياس مع الانفعال: ΔR/R = GF·ε، حيث معامل المقياس GF نحو 2 للرقائق المعدنية. في قنطرة تكون فيها كل الأذرع مساوية لـ R، يعطي مقياس فعّال واحد (ربع قنطرة) Vo ≈ Vs·GF·ε/4. ويعطي مقياسان فعّالان بانفعالين متعاكسين في ذراعين متجاورين (نصف قنطرة) Vs·GF·ε/2، وأربعة مقاييس (قنطرة كاملة) تعطي Vs·GF·ε. ويأتي الإجهاد من قانون هوك، σ = E·ε. وتذكر خلايا الحمل حساسيتها بوحدة mV/V: الخرج عند الحمل الكامل لكل فولت من الإثارة.

الانفعال

ε = 4·0,0025/(5·2) = 0,001

الإجهاد

σ = 210·10³ MPa·0,001 = 210 MPa

الإجابة

σ = 210 MPa
3.اكتساب البيانات وأخذ العينات

الإجابة: SQNR = 37,88 dB

دقة ADC: يقسّم المحوّل ذو N بت مدى المقياس الكامل VFSR إلى 2ᴺ رمزًا، من 0 إلى 2ᴺ − 1. الخطوة الواحدة هي 1 LSB = VFSR/2ᴺ: أصغر تغيّر يستطيع المحوّل إظهاره. يعطي المحوّل ذو البتر الرمز ⌊Vin/LSB⌋؛ أما المحوّل ذو التقريب فلا يبعد أبدًا أكثر من ½ LSB عن القيمة الحقيقية، وهذا خطأ التكميم له. كل بت إضافي يُنصّف LSB ويضيف نحو 6 dB إلى نسبة الإشارة إلى ضجيج التكميم المثالية SQNR = 6,02·N + 1,76 dB لموجة جيبية بمدى كامل. لبلوغ دقة r على مدى معيّن، اختر أصغر N يحقق 2ᴺ ≥ المدى/r.

SQNR المثالية

SQNR = 6,02·6 + 1,76 = 37,88 dB

الإجابة

SQNR = 37,88 dB
4.اكتساب البيانات وأخذ العينات

الإجابة: ΔTLSB = 0,03052 °C

دقة ADC: يقسّم المحوّل ذو N بت مدى المقياس الكامل VFSR إلى 2ᴺ رمزًا، من 0 إلى 2ᴺ − 1. الخطوة الواحدة هي 1 LSB = VFSR/2ᴺ: أصغر تغيّر يستطيع المحوّل إظهاره. يعطي المحوّل ذو البتر الرمز ⌊Vin/LSB⌋؛ أما المحوّل ذو التقريب فلا يبعد أبدًا أكثر من ½ LSB عن القيمة الحقيقية، وهذا خطأ التكميم له. كل بت إضافي يُنصّف LSB ويضيف نحو 6 dB إلى نسبة الإشارة إلى ضجيج التكميم المثالية SQNR = 6,02·N + 1,76 dB لموجة جيبية بمدى كامل. لبلوغ دقة r على مدى معيّن، اختر أصغر N يحقق 2ᴺ ≥ المدى/r.

حجم الخطوة

1 LSB = 2500/4096 = 0,6104 mV

الحساسية عند ADC

10·2 = 20 mV/°C

دقة قياس الحرارة

ΔTLSB = 0,6104/20 = 0,03052 °C

الإجابة

ΔTLSB = 0,03052 °C

يبلغ ADC المقياس الكامل عند 125 °C.

5.دوائر مكبّرات العمليات

الإجابة: Vout = −7,447 V

قواعد مكبّر العمليات المثالي: مع التغذية الراجعة السالبة، يضبط المكبّر خرجه بحيث يكون دخلاه على الجهد نفسه (V₋ = V₊)، ولا يدخل أي تيار إلى أي من الدخلين. كتابة قانون كيرشوف للتيار عند الدخل العاكس مع هاتين الحقيقتين تعطي الخرج.

الجهد عند الدخلين

R₃ و R₄ يحملان التيار نفسه، لذا يشكّلان مقسّم جهد؛ والتغذية الراجعة تجعل V₋ = V₊.

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = −1,7·10/(4,7 + 10) = −1,156 V
V₋ = V₊

قانون كيرشوف للتيار عند الدخل العاكس

(1,8 − −1,156)/4,7 = (−1,156 − Vout)/10
Vout = (R2/R1)·(V2 − V1) = (10/4,7)·(−1,7 − 1,8) = −7,447 V

الإجابة

Vout = −7,447 V
6.دوائر مكبّرات العمليات

الإجابة: Vout = 7,2 V

قواعد مكبّر العمليات المثالي: مع التغذية الراجعة السالبة، يضبط المكبّر خرجه بحيث يكون دخلاه على الجهد نفسه (V₋ = V₊)، ولا يدخل أي تيار إلى أي من الدخلين. كتابة قانون كيرشوف للتيار عند الدخل العاكس مع هاتين الحقيقتين تعطي الخرج.

كسب كل مرحلة

A1 = −Rf1/R1 = −100/10 = −10
A2 = 1 + Rf2/R2 = 1 + 2/10 = 1,2

مرحلةً مرحلة

V1 = −10·(−0,6) = 6 V
Vout = 1,2·6 = 7,2 V

الإجابة

Vout = 7,2 V
7.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: IR1 = 0,8889 A

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAR4​2 ΩB

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R3 + R4 = 10 + 2 = 12 Ω
R2 ∥ 12 = 20·12/(20+12) = 7,5 Ω
Req = R1 + 7,5 = 6 + 7,5 = 13,5 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا Req، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

IR1 = V1/Req = 12/13,5 = 0,8889 A

الإجابة

IR1 = 0,8889 A
8.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: IR1 = 0,6252 A

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

R1​ = 20 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩAR4​30 ΩBR6​8 Ω

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R5 + R6 = 30 + 8 = 38 Ω
R4 ∥ 38 = 16,76 Ω
R3 + 16,76 = 19,76 Ω
R2 ∥ 19,76 = 3,99 Ω
Req = R1 + 3,99 = 20 + 3,99 = 23,99 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا Req، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

IR1 = V1/Req = 15/23,99 = 0,6252 A

الإجابة

IR1 = 0,6252 A
9.ثيفنن ونورتن

الإجابة: Vth = 6,923 V

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.

R1​ = 3 ΩR3​ = 4 ΩقصرR2​10 ΩAabRth​

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R1 ∥ R2 = 3·10/(3+10) = 2,308 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,308 + 4 = 6,308 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​9 VR2​10 ΩAab+−Vth​

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·10/(3+10) = 6,923 V
10.ثيفنن ونورتن

الإجابة: IN = 3,281 A

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.

R1​ = 12 ΩR3​ = 5 ΩقصرR2​4 ΩAمفتوحBabRth​

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R1 ∥ R2 = 12·4/(12+4) = 3 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3 + 5 = 8 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAIs​3 ABab+−Vth​

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2,25 + 3·3 = 11,25 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 11,25 + 3·5 = 26,25 V
IN​3,281 ARth​8 Ωab

مكافئ نورتن

مصدر نورتن هو الدائرة نفسها منظورًا إليها كمصدر تيار على التوازي مع R_th. تياره هو تيار القصر بين a–b.

IN = Vth/Rth = 26,25/8 = 3,281 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation