مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب الفولاذ، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 85 kNd = 25 mmL = 3 mE = 200 GPa

ε = µε

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

مقطع الفولاذ (القطر 20 mm والطول 300 mm وE = 200 GPa) ومقطع من النحاس الأصفر (القطر 40 mm والطول 400 mm وE = 100 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 30 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ₂ في المقطع 2.

المقطع 1: الفولاذ, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: النحاس الأصفر, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.التواء الأعمدةمتوسطة

يجب أن يحمل عمود مجوّف عزم التواء 250 N·m. يُراد أن يكون قطره الداخلي 0,75 مرة من قطره الخارجي، ويجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 60 MPa. أوجد أصغر قطر خارجي d_o.

T = 250 N·md_i/d_o = 0,75τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من النحاس الأصفر قطره 60 mm مثبَّت عند A. يؤثّر عزم التواء 2000 N·m عند B على بعد 2,5 m من A، ويؤثّر عزم التواء 2000 N·m في الاتجاه نفسه عند الطرف الحر C، على بعد 0,5 m إضافية. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

d = 60 mmT_B = 2000 N·mT_C = 2000 N·mAB = 2,5 mBC = 0,5 m

τ_max = MPa

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

40 kN @ 2 m10 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

40 kN @ 0 m60 kN @ 6 m6 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع I متماثل له شفتان عرض كلٍّ منهما 160 mm وسُمكها 14 mm، وعمق كلي 460 mm، وجذع سُمكه 10 mm. أوجد معامل المقطع المرن S_x للانحناء حول المحور المركزي الأفقي x.

B = 160 mmH = 460 mmt_f = 14 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 15 kN·m. أوجد إجهاد الانحناء σ_الأسفل عند الحافة السفلية.

b_f = 200 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mmM = 15 kN·m

σ_الأسفل = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 60 MPa و σᵧ = −80 MPa و τₓᵧ = −40 MPa (الشدّ موجب). أوجد الزاوية θ_p من المحور x إلى اتجاه أكبر إجهاد رئيسي، بين −90° و 90°.

σ_x = 60 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

خزان أسطواني رقيق الجدار قطره الداخلي 1500 mm وسُمك جداره 10 mm يحتوي غازًا عند ضغط مقيس 1,5 MPa. وهو مصنوع من لوح ملحوم على طول درز حلزوني يميل بزاوية 50° عن محور الأسطوانة. أوجد الإجهاد العمودي σ_n المؤثّر عبر درز اللحام.

D = 1500 mmt = 10 mmp = 1,5 MPaα = 50°

σ_n = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كابولي مسنود مثبَّت عند A ومرتكز ارتكازًا بسيطًا (مسنود) عند B. يحمل حملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. EI ثابت. أوجد مقدار عزم الانحناء M_A عند الطرف المثبَّت.

L = 6 mP = 45 kN عند 3 m

M_A = kN·m

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 25 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 865,8 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 85·1000/490,9 = 173,2 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الفولاذ = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 173,2/200000 = 0,0008658 = 865,8 µε

الإجابة

ε = 865,8 µε

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ₂ = 14,32 MPa

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

الصلابات

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 100000·1257/400 = 314159 N/mm

حصة المقطع 2

F₂ = 30000·314159/523599 = 18000 N

الإجهاد

σ₂ = 18000/1257 = 14,32 MPa (ضغط)

الإجابة

σ₂ = 14,32 MPa

3.التواء الأعمدة

الإجابة: d_o = 31,43 mm

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

القطر الخارجي من الإجهاد المسموح

T = 250 N·m = 250000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·60·0,6836)) = 31,43 mm

d_i = 0,75·31,43 = 23,57 mm

الإجابة

d_o = 31,43 mm

العمود المصمت يحتاج إلى d = 27,69 mm؛ والمجوّف أكبر قليلًا لكنه أخفّ بكثير.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 94,31 MPa

عزوم الالتواء الداخلية

اتجاه T_C مأخوذ موجبًا.

T_BC = T_C = 2000 N·m

T_AB = T_C + T_B = 2000 + 2000 = 4000 N·m

أقصى إجهاد قص

الجزء ذو أكبر عزم داخلي له أكبر إجهاد (القطر نفسه).

|T|_max = 4000 N·m

τ_max = 16·4 × 10⁶/(π·60³) = 94,31 MPa

الإجابة

τ_max = 94,31 MPa

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: C (x = 2 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 55,83 kN, R₂ = 34,17 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 50,83, M_C = 91,67 kN·m, M_D = 82,5, M_E = 63,33, M_F = 34,17, M_G = 0

الإجابة

علامة C: M_C = 91,67 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: F (x = 5 m)

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 47 kN, R₂ = 77 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = −40, M_C = −36, M_D = −38, M_E = −46, M_F = −60 kN·m, M_G = 0

الإجابة

علامة F: M_F = −60 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: S_x = 1261 × 10³ mm³

عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = I_c + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد.

المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين

عرض الفراغين معًا (B − t_w) وارتفاعهما h_w = H − 2t_f، ويشتركان في المحور x.

h_w = 460 − 2·14 = 432 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·460³ − 150·432³)/12

I_x = 2,9 × 10⁸ mm⁴

معامل المقطع

c = H/2 = 230 mm

S_x = I/c = 2,9 × 10⁸/230

S_x = 1,261 × 10⁶ mm³ = 1261 × 10³ mm³

الإجابة

S_x = 1261 × 10³ mm³

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأسفل = 55,49 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 200·30 = 6000 mm², y_f = 240 + 30/2 = 255 mm

الجذع: A_w = 14·240 = 3360 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·255 + 3360·120)/9360 = 206,5 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 200·30³/12 + 6000·(255 − 206,5)² = 1,454 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 14·240³/12 + 3360·(120 − 206,5)² = 4,129 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,454 × 10⁷ + 4,129 × 10⁷ = 5,583 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة السفلية ȳ عن المحور.

y = 206,5 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·206,5/5,583 × 10⁷ = 55,49 MPa

الإجابة

σ_الأسفل = 55,49 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_p = −14,87 °

الزاوية على الدائرة

تقع النقطة x على دائرة مور بزاوية 2θp من المحور σ؛ ويُحدَّد الربع من إشارتي σₓ − σᵧ و τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, 60 − −80) = −29,74°

الزاوية على العنصر

θ_p = −14,87°

الإجابة

θ_p = −14,87°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_n = 79,49 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. الأسطوانة الرقيقة الجدار: الإجهاد المحيطي σ_h = pr/t والإجهاد المحوري σ_a = pr/(2t)؛ وهما الإجهادان الرئيسيان في الجدار.

إجهادات الجدار

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 1,5·750/10 = 112,5 MPa

σ_a = pr/(2t) = 56,25 MPa

التحويل إلى الدرز

خذ x على امتداد المحور (σ_a) و y على امتداد المحيط (σ_h). العمودي على الدرز يصنع 90° − α مع المحور.

σ_n = 56,25·sin²50° + 112,5·cos²50° = 79,49 MPa

الإجابة

σ_n = 79,49 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 26,89 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

الترخيم

δ = wL⁴/(8EI) = 8·2000⁴/(8·5,95 × 10¹¹) = 26,89 mm

الإجابة

δ = 26,89 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: M_A = 50,63 kN·m

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). في الكمرة غير المحدّدة استاتيكيًا، أزل ركيزة زائدة واشترط أن يكون الترخيم هناك صفرًا (التوافق).

أزل الركيزة الساندة

بدون الركيزة الساندة تكون الكمرة كابوليًا. وكان طرفها الحر سيترخّم تحت الحمل.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

التوافق عند الركيزة الساندة

قوة الركيزة الساندة R_B وحدها ترفع الطرف الحر بمقدار R_BL³/(3EI). الركيزة الساندة تُبقي ترخيم B صفرًا، لذا يجب أن يلغي أحدهما الآخر. ويُختصر EI.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·45/16 = 14,06 kN

العزم عند الطرف المثبَّت

عزوم الأحمال وقوة الركيزة الساندة حول A.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 135 − 84,38 = 50,63 kN·m

الإجابة

M_A = 50,63 kN·m

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 27,04 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·1000 = 700 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/700² = 27035 N = 27,04 kN

الإجابة

P_cr = 27,04 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 4,318 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/10 = 400

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

الإجابة

σ_cr = 4,318 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials