مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب الفولاذ تحت الحمل المحوري.

P = 70 kNd = 25 mmL = 2 mE = 200 GPa

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

مقطع الفولاذ (القطر 20 mm والطول 500 mm وE = 200 GPa) ومقطع من الألومنيوم (القطر 30 mm والطول 500 mm وE = 70 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 50 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ₂ في المقطع 2.

المقطع 1: الفولاذ, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: الألومنيوم, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت مدرَّج من الألومنيوم مثبَّت عند A. الجزء AB قطره 75 mm وطوله 2 m؛ والجزء BC قطره 25 mm وطوله 1,2 m. يؤثّر عزم التواء 100 N·m عند الطرف الحر C. أوجد زاوية التواء الطرف C φ_C بالدرجات.

T = 100 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 2 md₂ = 25 mm, L₂ = 1,2 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مصمت 100 kW عند 300 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 60 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.

P = 100 kWN = 300 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 3 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 4 mw = 8 kN/m من 0 إلى 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 6 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 10 mP = 60 kN عند 6 mw = 5 kN/m من 0 إلى 10 mx = 6 m

M_x = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 200 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 5 kN·m. أوجد إجهاد الانحناء σ_الأسفل عند الحافة السفلية.

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 160 mmM = 5 kN·m

σ_الأسفل = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = −60 MPa، σᵧ = 0 MPa و τₓᵧ = 40 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 25° عكس عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σ_y′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.

σ_x = −60 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

عمود مصمت قطره 40 mm يحمل عزم انحناء مقداره 1000 N·m مع عزم التواء 750 N·m. عند السطح العلوي، حيث يكون إجهاد الانحناء شدًّا وأكبر ما يمكن، أوجد أكبر إجهاد رئيسي σ₁.

d = 40 mmM = 1000 N·mT = 750 N·m

σ₁ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة خشبية بسيطة الارتكاز ذات مقطع مستطيل عرضه 125 mm تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. لا يجوز أن يتجاوز ترخيم منتصفها البحر/250. أوجد أصغر عمق h_req للمقطع.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)b = 125 mm

h_req = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. يجب أن يحمل 55 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 55 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

d = mm

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 1,426 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 70·1000/490,9 = 142,6 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الفولاذ = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 142,6/200000 = 0,000713 = 713 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,000713·2000 mm = 1,426 mm

الإجابة

δ = 1,426 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ₂ = 31,16 MPa

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

الصلابات

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 70000·706,9/500 = 98960 N/mm

حصة المقطع 2

F₂ = 50000·98960/224624 = 22028 N

الإجهاد

σ₂ = 22028/706,9 = 31,16 MPa (ضغط)

الإجابة

σ₂ = 31,16 MPa

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ_C = 7,037 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزوم القصور القطبية

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

التواء كل جزء

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 100000·2000/(26000·3,106 × 10⁶) = 0,002476 rad

φ_BC = 100000·1200/(26000·38350) = 0,1204 rad

الالتواء الكلي

φ_C = 0,002476 + 0,1204 = 0,1228 rad = 7,037°

الإجابة

φ_C = 7,037°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 64,65 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 100000/31,42 = 3183 N·m

القطر من الإجهاد المسموح

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·3,183 × 10⁶/(π·60)) = 64,65 mm

الإجابة

d = 64,65 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 12 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·4·2

R_B = 64/4 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

اقطع عند x = 3 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 16·3 − 8·3·1,5 = 12 kN·m

الإجابة

M_x = 12 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 204 kN·m

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN، تؤثّر عند x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·6 + 5·10·5

R_B = 610/10 = 61 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 61 = 49 kN

اقطع عند x = 6 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 49·6 − 5·6·3 = 204 kN·m

الإجابة

M_x = 204 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 45,66 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 200·20 = 4000 mm², y_f = 260 + 20/2 = 270 mm

الجذع: A_w = 10·260 = 2600 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·270 + 2600·130)/6600 = 214,8 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 200·20³/12 + 4000·(270 − 214,8)² = 1,23 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 10·260³/12 + 2600·(130 − 214,8)² = 3,336 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,23 × 10⁷ + 3,336 × 10⁷ = 4,566 × 10⁷ mm⁴ = 45,66 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 45,66 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأسفل = 38,16 MPa

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 280·25 = 7000 mm², y_f = 160 + 25/2 = 172,5 mm

الجذع: A_w = 14·160 = 2240 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7000·172,5 + 2240·80)/9240 = 150,1 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 280·25³/12 + 7000·(172,5 − 150,1)² = 3,885 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 14·160³/12 + 2240·(80 − 150,1)² = 1,578 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,885 × 10⁶ + 1,578 × 10⁷ = 1,966 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة السفلية ȳ عن المحور.

y = 150,1 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·150,1/1,966 × 10⁷ = 38,16 MPa

الإجابة

σ_الأسفل = 38,16 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_y′ = −41,36 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

معادلة التحويل للوجه y′

σ_y′ = −30 − (−30)·0,6428 − 40·0,766 = −41,36 MPa

تحقّق

مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.

σ_x′ = −18,64 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −60 = σ_x + σ_y

الإجابة

σ_y′ = −41,36 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ₁ = 179 MPa

الإجهادات عند السطح

σ = 32M/(πd³) = 32·1000000/(π·40³) = 159,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·40³) = 59,68 MPa

دائرة مور

C = σ/2 = 79,58 MPa

R = √(79,58² + 59,68²) = 99,47 MPa

σ₁ = C + R = 179 MPa

σ₂ = C − R = −19,89 MPa

الإجابة

σ₁ = 179 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 55,49 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

الترخيم

δ = wL⁴/(8EI) = 20·2500⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 55,49 mm

الإجابة

δ = 55,49 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: h_req = 242,2 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

حدّ الترخيم

δ_allow = L/250 = 5000/250 = 20 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·5000⁴/(384·11000·20) = 1,48 × 10⁸ mm⁴

العمق المطلوب

bh³/12 = I_req → h = (12·1,48 × 10⁸/125)^1/3 = 242,2 mm

الإجابة

h_req = 242,2 mm

عمليًا، اختر العمق القياسي التالي الأكبر من هذه القيمة.

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 13,16 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·2000 = 2000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/2000² = 13159 N = 13,16 kN

الإجابة

P_cr = 13,16 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 55,57 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 3·55000 = 165000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 55,57 mm

الإجابة

d = 55,57 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 100,8، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials