مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب النحاس الأصفر تحت الحمل المحوري.

P = 50 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 30 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 160 MPa) داخل أنبوب من النحاس (القطر الخارجي 80 mm والقطر الداخلي 60 mm وE = 120 GPa والإجهاد المسموح 80 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaالأنبوب: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الألومنيوم مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 200 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مجوّف 75 kW بسرعة 3000 rpm. يُراد أن يكون قطره الداخلي 0,7 مرة من قطره الخارجي، ويجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 80 MPa. أوجد أصغر قطر خارجي d_o.

P = 75 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل ازدواجًا باتجاه عقارب الساعة M₀ = 30 kN·m عند x = 2 m من A، ولا يوجد حمل آخر. أوجد عزم الانحناء M_x يمين الازدواج مباشرةً. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5 mM₀ = 30 kN·m باتجاه عقارب الساعة، عند 2 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

35 kN @ 0 m25 kN @ 12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع I متماثل له شفتان عرض كلٍّ منهما 180 mm وسُمكها 14 mm، وعمق كلي 360 mm، وجذع سُمكه 12 mm. أوجد عزم قصوره الذاتي I_x حول المحور المركزي الأفقي x.

B = 180 mmH = 360 mmt_f = 14 mmt_w = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

لوح أبعاده 200 mm × 200 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 50 mm وارتفاعها 30 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 80 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 200 mmh = 200 mmالفتحة: 50 × 30 mmمركز الثقب: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −70 MPa و σᵧ = 10 MPa و τₓᵧ = 10 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

σ_x = −70 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = 0 MPa، σᵧ = 110 MPa و τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). أوجد الإجهاد المكافئ وفق فون ميزس σ_vM.

σ_x = 0 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −60 MPa

σ_vM = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد b = 1,5 m من الركيزة B. أوجد أقصى ترخيم δ_max للكمرة.

P = 5 kNb = 1,5 mL = 6 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 1,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 6,631 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 50·1000/113,1 = 442,1 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس الأصفر = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 442,1/100000 = 0,004421 = 4421 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,004421·1500 mm = 6,631 mm

الإجابة

δ = 6,631 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 270,2 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·2199 = 4,053 × 10⁸ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,0008, 0,0006667) = 0,0006667 (النحاس)

أكبر حمل

P_max = 0,0006667·4,053 × 10⁸ = 270177 N = 270,2 kN

الإجابة

P_max = 270,2 kN

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 1,796 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(26000·613592) = 0,03134 rad

φ = 0,03134·180/π = 1,796°

الإجابة

φ = 1,796°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d_o = 27,14 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 75000/314,2 = 238,7 N·m

القطر الخارجي من الإجهاد المسموح

T = 238,7 N·m = 238732 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·238732/(π·80·0,7599)) = 27,14 mm

d_i = 0,7·27,14 = 19 mm

الإجابة

d_o = 27,14 mm

العمود المصمت يحتاج إلى d = 24,77 mm؛ والمجوّف أكبر قليلًا لكنه أخفّ بكثير.

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 18 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. الازدواج المؤثّر يجعل مخطط عزم الانحناء يقفز بمقدار الازدواج.

ردود أفعال الركائز

العزوم حول A، عكس عقارب الساعة موجب: R_B·L − M₀ = 0. الاتزان الرأسي: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 30/5 = 6 kN (إلى الأعلى)

R_A = −R_B = −6 kN (إلى الأسفل)

اقطع يمين الازدواج مباشرةً

يحتوي الجزء الأيسر الآن على R_A والازدواج.

M_x = R_A·a + M₀ = −6·2 + 30 = 18 kN·m

الإجابة

M_x = 18 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 8 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 30 kN, R₂ = 30 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = −70, M_C = −80, M_D = −90, M_E = −100 kN·m, M_F = −50, M_G = 0

الإجابة

علامة E: M_E = −100 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 187,5 × 10⁶ mm⁴

عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = I_c + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد.

المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين

عرض الفراغين معًا (B − t_w) وارتفاعهما h_w = H − 2t_f، ويشتركان في المحور x.

h_w = 360 − 2·14 = 332 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·360³ − 168·332³)/12

I_x = 1,875 × 10⁸ mm⁴ = 187,5 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 187,5 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 132,6 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (40000·100 − 1500·80)/(40000 − 1500) = 100,8 mm

اللوح الكامل حول ȳ

200·200³/12 + 40000·−0,7792² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

50·30³/12 + 1500·−20,78² = 0,7602 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 132,6 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 132,6 × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 41,23 MPa

نصف قطر دائرة مور

τ_max = R = √(((−70 − 10)/2)² + 10²) = 41,23 MPa

الإجابة

τ_max = 41,23 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_vM = 151,3 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σ_Y؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σ_Y/2.

الإجهادات الرئيسية

C = 55 MPa, R = 81,39 MPa

σ₁ = 136,4 MPa, σ₂ = −26,39 MPa, σ₃ = 0

فون ميزس

σ_vM = √(136,4² − 136,4·(−26,39) + (−26,39)²) = 151,3 MPa

الإجابة

σ_vM = 151,3 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 5,424 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

الترخيم

δ = wL⁴/(8EI) = 6·3000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 5,424 mm

الإجابة

δ = 5,424 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 62,14 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 5000 N, b = 1500 mm, L = 6000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

موضع الحد الأقصى

جعل الميل في الجزء الأطول صفرًا يعطي الموضع.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1500²)/3) = 3354 mm

أقصى ترخيم

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 62,14 mm

الإجابة

δ_max = 62,14 mm

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 3,655 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·3000 = 6000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/6000² = 3655 N = 3,655 kN

الإجابة

P_cr = 3,655 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 35,25 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/7,5 = 140

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

الإجابة

σ_cr = 35,25 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials