مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 20 mm والطول 600 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من البرونز (القطر 40 mm والطول 300 mm وE = 110 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,25 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: البرونز, Ø40 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 25 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 250 MPa) داخل أنبوب من النحاس (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 60 mm وE = 120 GPa والإجهاد المسموح 70 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaالأنبوب: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الألومنيوم طوله 2 m يحمل عزم التواء 2000 N·m. يجب ألّا تتجاوز زاوية الالتواء بين طرفيه 2°. أوجد أصغر قطر d يحقّق هذا الحد.

T = 2000 N·mL = 2 mG = 26 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 75 kW عند 750 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 75 kWN = 750 rpmd_o = 75 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

60 kN @ 10 m30 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 0,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 8 mP = 45 kN عند 7 mw = 5 kN/m من 0 إلى 8 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 10 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_الأعلى عند الحافة العلوية.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 180 mmM = 10 kN·m

σ_الأعلى = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 90 MPa، σᵧ = −20 MPa و τₓᵧ = −30 MPa (الشد موجب). أوجد الزاوية θ_s، بين −90° و 90°، من المحور x إلى العمودي على المستوى الذي يبلغ عليه إجهاد القص قيمته الموجبة القصوى +R (القص موجب في اتجاه τₓᵧ نفسه).

σ_x = 90 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_s = °

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

عمود مصمت قطره 60 mm يحمل عزم انحناء مقداره 750 N·m مع عزم التواء 1000 N·m. عند السطح العلوي، حيث يكون إجهاد الانحناء شدًّا وأكبر ما يمكن، أوجد أكبر إجهاد رئيسي σ₁.

d = 60 mmM = 750 N·mT = 1000 N·m

σ₁ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

w = 5 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي I_req يحقّق هذا الحد.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 1 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 21,33 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·1257) = 2,17 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,25/1,172 × 10⁻⁵ = 21332 N = 21,33 kN

الإجابة

P = 21,33 kN

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 409,1 kN

المساحات

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·5027 = 7,014 × 10⁸ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,00125, 0,0005833) = 0,0005833 (النحاس)

أكبر حمل

P_max = 0,0005833·7,014 × 10⁸ = 409127 N = 409,1 kN

الإجابة

P_max = 409,1 kN

3.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 81,85 mm

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي المطلوب

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 2 × 10⁶·2000/(26000·0,03491) = 4,407 × 10⁶ mm⁴

القطر

d = (32J/π)^1/4 = 81,85 mm

الإجابة

d = 81,85 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 12,34 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2,902 × 10⁶ mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·37,5/2,902 × 10⁶ = 12,34 MPa

الإجابة

τ_max = 12,34 MPa

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 8 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 20 kN, R₂ = 70 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 40, M_C = 80, M_D = 120, M_E = 160 kN·m, M_F = 140, M_G = 0

الإجابة

علامة E: M_E = 160 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 12,19 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·7 + 5·8·4

R_B = 475/8 = 59,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 59,38 = 25,63 kN

اقطع عند x = 0,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 25,63·0,5 − 5·0,5·0,25 = 12,19 kN·m

الإجابة

M_x = 12,19 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 44,39 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 160·20 = 3200 mm², y_f = 280 + 20/2 = 290 mm

الجذع: A_w = 8·280 = 2240 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3200·290 + 2240·140)/5440 = 228,2 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 160·20³/12 + 3200·(290 − 228,2)² = 1,231 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 8·280³/12 + 2240·(140 − 228,2)² = 3,207 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,231 × 10⁷ + 3,207 × 10⁷ = 4,439 × 10⁷ mm⁴ = 44,39 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 44,39 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأعلى = 32,06 MPa

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 180 + 25/2 = 192,5 mm

الجذع: A_w = 8·180 = 1440 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·192,5 + 1440·90)/4440 = 159,3 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 120·25³/12 + 3000·(192,5 − 159,3)² = 3,472 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 8·180³/12 + 1440·(90 − 159,3)² = 1,079 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,472 × 10⁶ + 1,079 × 10⁷ = 1,427 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.

y = 205 − 159,3 = 45,74 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·45,74/1,427 × 10⁷ = 32,06 MPa

الإجابة

σ_الأعلى = 32,06 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_s = −59,31 °

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

الزاوية على الدائرة

على دائرة مور تبعد نقطة القمة (+R) بـ 90° عن النقطة الرئيسية σ₁؛ وعلى العنصر يعادل ذلك 45°.

cos 2θ_s = −30/62,65 = −0,4789, sin 2θ_s = −55/62,65 = −0,8779

2θ_s = atan2(−55, −30) = −118,6°

الزاوية على العنصر

θ_s = −59,31°

تحقّق: θ_s − θ_p = −59,31 − (−14,31) = −45°

الإجابة

θ_s = −59,31°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ₁ = 47,16 MPa

الإجهادات عند السطح

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·60³) = 35,37 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·60³) = 23,58 MPa

دائرة مور

C = σ/2 = 17,68 MPa

R = √(17,68² + 23,58²) = 29,47 MPa

σ₁ = C + R = 47,16 MPa

σ₂ = C − R = −11,79 MPa

الإجابة

σ₁ = 47,16 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 11,9 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

الترخيم

δ = wL⁴/(8EI) = 5·2000⁴/(8·8,4 × 10¹¹) = 11,9 mm

الإجابة

δ = 11,9 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: I_req = 163,6 × 10⁶ mm⁴

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·4000⁴/(384·11000·11,11) = 1,636 × 10⁸ mm⁴

I_req = 163,6 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_req = 163,6 × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 197,4 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/2500² = 197392 N = 197,4 kN

الإجابة

P_cr = 197,4 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 35,25 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/5 = 140

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

الإجابة

σ_cr = 35,25 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials