مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب من الفولاذ (القطر 20 mm وE = 200 GPa) داخل أنبوب من النحاس (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 60 mm وE = 120 GPa). طول كل منهما 600 mm، ويُضغطان معًا بين لوحين صلبين بقوة 50 kN. أوجد الانضغاط δ.

P = 50 kNالقضيب: Ø20 mm, E = 200 GPaالأنبوب: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 25 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 160 MPa) داخل أنبوب من النحاس (القطر الخارجي 120 mm والقطر الداخلي 70 mm وE = 120 GPa والإجهاد المسموح 100 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaالأنبوب: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الفولاذ مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 500 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من النحاس الأصفر قطره 50 mm مثبَّت في جدارين صلبين عند طرفيه A و B. يؤثّر عزم التواء 200 N·m عند C، على بعد 3 m من A و 1,5 m من B. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

d = 50 mmT₀ = 200 N·ma = 3 mb = 1,5 m

τ_max = MPa

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

25 kN @ 4 m4 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

35 kN @ 0 m10 kN @ 12 m15 kN @ 6 m6 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أنبوب دائري قطره الخارجي D = 240 mm وقطره الداخلي d = 216 mm. أوجد نصف قطر الدوران r حول المحور المركزي الأفقي.

D = 240 mmd = 216 mm

r = mm

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 50 kN·m. أوجد إجهاد الانحناء σ_الأسفل عند الحافة السفلية.

b_f = 220 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 220 mmM = 50 kN·m

σ_الأسفل = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 60 MPa و σᵧ = 50 MPa و τₓᵧ = −60 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

σ_x = 60 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

عمود مصمت قطره 50 mm يحمل عزم انحناء مقداره 1000 N·m مع عزم التواء 400 N·m. عند السطح العلوي، حيث يكون إجهاد الانحناء شدًّا وأكبر ما يمكن، أوجد أكبر إجهاد رئيسي σ₁.

d = 50 mmM = 1000 N·mT = 400 N·m

σ₁ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P عند طرفه الحر. باستخدام التراكب، أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

P = 2 kNw = 8 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي I_req يحقّق هذا الحد.

w = 2 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 0,04504 mm

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·5027 = 6,66 × 10⁸ N

الانضغاط

δ = 50000·600/6,66 × 10⁸ = 0,04504 mm

الإجابة

δ = 0,04504 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 794,8 kN

المساحات

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·7461 = 9,935 × 10⁸ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,0008, 0,0008333) = 0,0008 (الفولاذ)

أكبر حمل

P_max = 0,0008·9,935 × 10⁸ = 794823 N = 794,8 kN

الإجابة

P_max = 794,8 kN

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 3,562 °

عزم القصور القطبي

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2500/(80000·251327) = 0,06217 rad

φ = 0,06217·180/π = 3,562°

الإجابة

φ = 3,562°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 5,432 MPa

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω. عندما يكون الطرفان مثبَّتين، يعطي علم السكون وحده T_A + T_B = T₀ فقط؛ والمعادلة الثانية هي التوافق (تساوي التواء الجزأين عند المقطع المحمَّل).

الاتزان والتوافق

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·1,5/4,5 = 66,67 N·m

T_B = 200·3/4,5 = 133,3 N·m

أقصى إجهاد قص

أكبر العزمين يحكم (القطر نفسه).

τ_max = 16·133333/(π·50³) = 5,432 MPa

الإجابة

τ_max = 5,432 MPa

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 4 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 20,33 kN, R₂ = 28,67 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 18,33, M_C = 32,67, M_D = 43, M_E = 49,33 kN·m, M_F = 26,67, M_G = 0

الإجابة

علامة E: M_E = 49,33 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: B (x = 2 m)

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 72,75 kN, R₂ = 35,25 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = −70 kN·m, M_C = −6,5, M_D = 33, M_E = 18,5, M_F = −20, M_G = 0

الإجابة

علامة B: M_B = −70 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: r = 80,72 mm

عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = I_c + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد. نصف قطر الدوران r = √(I/A) هو المسافة التي لو تركّزت عندها المساحة كلها لأعطت I نفسه؛ ويُستخدم في انبعاج الأعمدة.

المساحة الصافية وعزم القصور الذاتي

A = π(D² − d²)/4 = 8595 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 5,601 × 10⁷ mm⁴

نصف قطر الدوران

r = √(I/A) = √(5,601 × 10⁷/8595) = 80,72 mm

الإجابة

r = 80,72 mm

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأسفل = 222,6 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 220·25 = 5500 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232,5 mm

الجذع: A_w = 14·220 = 3080 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5500·232,5 + 3080·110)/8580 = 188,5 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 220·25³/12 + 5500·(232,5 − 188,5)² = 1,092 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 14·220³/12 + 3080·(110 − 188,5)² = 3,141 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,092 × 10⁷ + 3,141 × 10⁷ = 4,234 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة السفلية ȳ عن المحور.

y = 188,5 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·188,5/4,234 × 10⁷ = 222,6 MPa

الإجابة

σ_الأسفل = 222,6 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 60,21 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

نصف قطر دائرة مور

τ_max = R = √(((60 − 50)/2)² + −60²) = 60,21 MPa

الإجابة

τ_max = 60,21 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ₁ = 84,63 MPa

الإجهادات عند السطح

σ = 32M/(πd³) = 32·1000000/(π·50³) = 81,49 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·50³) = 16,3 MPa

دائرة مور

C = σ/2 = 40,74 MPa

R = √(40,74² + 16,3²) = 43,88 MPa

σ₁ = C + R = 84,63 MPa

σ₂ = C − R = −3,139 MPa

الإجابة

σ₁ = 84,63 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 2,54 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 2000 N, w = 8 N/mm, L = 2000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(3EI) = 2000·2000³/(3·8,4 × 10¹²) = 0,6349 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 8·2000⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 1,905 mm

اجمعها

δ = 0,6349 + 1,905 = 2,54 mm

الإجابة

δ = 2,54 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: I_req = 68,57 × 10⁶ mm⁴

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·8000⁴/(384·70000·22,22) = 6,857 × 10⁷ mm⁴

I_req = 68,57 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_req = 68,57 × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 11,51 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/2500² = 11515 N = 11,51 kN

الإجابة

P_cr = 11,51 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 6,94 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/15 = 533,3

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/533,3² = 6,94 MPa

الإجابة

σ_cr = 6,94 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials