مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 20 mm والطول 300 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من البرونز (القطر 40 mm والطول 300 mm وE = 110 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,5 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: البرونز, Ø40 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σ_max في القضيب.

P = 40 kNالجزء 1: Ø40 mm، 0,5 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)الجزء 2: Ø12 mm، 1,5 m، الفولاذ (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.التواء الأعمدةمتوسطة

يجب أن يحمل عمود مجوّف عزم التواء 750 N·m. يُراد أن يكون قطره الداخلي 0,5 مرة من قطره الخارجي، ويجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 75 MPa. أوجد أصغر قطر خارجي d_o.

T = 750 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 15 kW عند 1450 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 15 kWN = 1450 rpmd_o = 50 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

55 kN @ 4 m4 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 2,5 m حتى الطرف الحر C. يؤثّر حمل موزّع بانتظام w على الطول كله A–C. أوجد أقصى عزم انحناء موجب M_max بين الركيزتين.

L = 7,5 mw = 12 kN/m من 0 إلى 7,5 mركيزتان عند x = 0 و x = 5 m

M_max = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع مجرى موضوع وجانبه المفتوح إلى الأعلى: لوح قاعدة عرضه 220 mm مع ساقين قائمتين، ارتفاعه الكلي 120 mm. سُمك القاعدة والساقين كلها 12 mm. أوجد عزم قصوره الذاتي I_x حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b = 220 mmh = 120 mmt = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

لوح أبعاده 150 mm × 150 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 80 mm وارتفاعها 20 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 45 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 150 mmh = 150 mmالفتحة: 80 × 20 mmمركز الثقب: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 70 MPa و σᵧ = 20 MPa و τₓᵧ = −40 MPa (الشدّ موجب). أوجد الزاوية θ_p من المحور x إلى اتجاه أكبر إجهاد رئيسي، بين −90° و 90°.

σ_x = 70 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 10 MPa و σᵧ = −40 MPa و τₓᵧ = −60 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 15° عكس عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = 10 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δ_max عند منتصف البحر.

w = 6 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w وحملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 30 kNw = 5 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 71,99 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·1257) = 2,17 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,5/6,945 × 10⁻⁶ = 71995 N = 71,99 kN

الإجابة

P = 71,99 kN

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ_max = 353,7 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 31,83 MPa

σ₂ = 353,7 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σ_max = 353,7 MPa

الإجابة

σ_max = 353,7 MPa

3.التواء الأعمدة

الإجابة: d_o = 37,87 mm

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

القطر الخارجي من الإجهاد المسموح

T = 750 N·m = 750000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·75·0,9375)) = 37,87 mm

d_i = 0,5·37,87 = 18,94 mm

الإجابة

d_o = 37,87 mm

العمود المصمت يحتاج إلى d = 37,07 mm؛ والمجوّف أكبر قليلًا لكنه أخفّ بكثير.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 6,817 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 98786·25/362265 = 6,817 MPa

الإجابة

τ_max = 6,817 MPa

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: C (x = 4 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 60,67 kN, R₂ = 42,33 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 113,3, M_C = 210,7 kN·m, M_D = 182, M_E = 137,3, M_F = 76,67, M_G = 0

الإجابة

علامة C: M_C = 210,7 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 21,09 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها، بما في ذلك الحمل على الجزء البارز.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·7,5 = 90 kN، تؤثّر عند x̄ = 3,75 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·7,5·3,75

R_B = 337,5/5 = 67,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 67,5 = 22,5 kN

انعدام القص

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 22,5/12 = 1,875 m

أقصى عزم موجب

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 22,5²/(2·12) = 21,09 kN·m

الإجابة

M_max = 21,09 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 7,26 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلات

خذ القاعدة بكامل عرضها والساقين فوقها (بارتفاع h − t)، حتى لا يُحسب شيء مرتين.

القاعدة: A₁ = 220·12 = 2640 mm², y₁ = 6 mm

الساقان: A₂ = 2·12·108 = 2592 mm², y₂ = 12 + 108/2 = 66 mm

المركز

ȳ = (2640·6 + 2592·66)/5232 = 35,72 mm

نظرية المحور الموازي

القاعدة: 220·12³/12 + 2640·(6 − 35,72)² = 2,364 × 10⁶ mm⁴

الساقان: 2·12·108³/12 + 2592·(66 − 35,72)² = 4,895 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,364 × 10⁶ + 4,895 × 10⁶

I_x = 7,26 × 10⁶ mm⁴ = 7,26 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 7,26 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 40,58 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (22500·75 − 1600·45)/(22500 − 1600) = 77,3 mm

اللوح الكامل حول ȳ

150·150³/12 + 22500·−2,297² = 42,31 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

80·20³/12 + 1600·−32,3² = 1,722 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 40,58 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 40,58 × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_p = −29 °

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

الزاوية على الدائرة

تقع النقطة x على دائرة مور بزاوية 2θp من المحور σ؛ ويُحدَّد الربع من إشارتي σₓ − σᵧ و τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, 70 − 20) = −57,99°

الزاوية على العنصر

θ_p = −29°

الإجابة

θ_p = −29°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = −23,35 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = −15 + 25·0,866 + −60·0,5 = −23,35 MPa

الإجابة

σ_θ = −23,35 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 57,53 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

الترخيم

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·6000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 57,53 mm

الإجابة

δ_max = 57,53 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 2,361 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 30000 N, w = 5 N/mm, L = 4000 mm, EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(48EI) = 30000·4000³/(48·2,4 × 10¹³) = 1,667 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·4000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 0,6944 mm

اجمعها

δ_max = 1,667 + 0,6944 = 2,361 mm

الإجابة

δ_max = 2,361 mm

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 235,8 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/1250² = 235818 N = 235,8 kN

الإجابة

P_cr = 235,8 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 77,11 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77,11 MPa

الإجابة

σ_cr = 77,11 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials