مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 25 mm والطول 600 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من النحاس (القطر 30 mm والطول 200 mm وE = 120 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,2 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: النحاس, Ø30 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 10 kNالجزء 1: Ø30 mm، 2 m، الفولاذ (E = 200 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 1,5 m، النحاس (E = 117 GPa)

δ = mm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من النحاس الأصفر مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 200 N·md = 50 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الفولاذ قطره 60 mm مثبَّت في جدارين صلبين عند طرفيه A و B. يؤثّر عزم التواء 200 N·m عند C، على بعد 0,5 m من A و 3 m من B. أوجد عزم ردّ الفعل T_A عند الجدار A.

d = 60 mmT₀ = 200 N·ma = 0,5 mb = 3 m

T_A = N·m

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

35 kN @ 4 m4 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 10 mP = 30 kN عند 9 mw = 4 kN/m من 0 إلى 10 m

M_max = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع مستطيل مجوّف (صندوقي) عرضه الخارجي B = 120 mm، وارتفاعه الخارجي H = 200 mm، وسُمك جداره المنتظم t = 10 mm. أوجد نصف قطر الدوران r حول المحور المركزي الأفقي.

B = 120 mmH = 200 mmt = 10 mm

r = mm

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

لوح أبعاده 120 mm × 150 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 80 mm وارتفاعها 40 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 105 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 120 mmh = 150 mmالفتحة: 80 × 40 mmمركز الثقب: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −80 MPa و σᵧ = 60 MPa و τₓᵧ = −20 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

σ_x = −80 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = −20 MPa، σᵧ = 20 MPa و τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). إجهاد خضوع المادة 420 MPa. أوجد معامل الأمان n ضد الخضوع وفق معيار فون ميزس (طاقة التشوّه).

σ_x = −20 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي طوله L مثبَّت عند A ويحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 3 m من A. أوجد الترخيم δ_B عند الطرف الحر B.

P = 9 kNa = 3 mL = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة خشبية بسيطة الارتكاز ذات مقطع مستطيل عرضه 150 mm تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. لا يجوز أن يتجاوز ترخيم منتصفها البحر/360. أوجد أصغر عمق h_req للمقطع.

w = 2 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)b = 150 mm

h_req = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 10 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 10 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 23,61 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490,9) = 6,112 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·706,9) = 2,358 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,2/8,469 × 10⁻⁶ = 23614 N = 23,61 kN

الإجابة

P = 23,61 kN

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 0,5496 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 14,15 MPa

σ₂ = 31,83 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 14,15·2000/200000 = 0,1415 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 31,83·1500/117000 = 0,4081 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,5496 mm

الإجابة

δ = 0,5496 mm

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 0,9577 °

عزم القصور القطبي

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(39000·613592) = 0,01672 rad

φ = 0,01672·180/π = 0,9577°

الإجابة

φ = 0,9577°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: T_A = 171,4 N·m

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω. عندما يكون الطرفان مثبَّتين، يعطي علم السكون وحده T_A + T_B = T₀ فقط؛ والمعادلة الثانية هي التوافق (تساوي التواء الجزأين عند المقطع المحمَّل).

الاتزان والتوافق

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·3/3,5 = 171,4 N·m

T_B = 200·0,5/3,5 = 28,57 N·m

الإجابة

T_A = 171,4 N·m

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 4 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 23,67 kN, R₂ = 35,33 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 21,67, M_C = 39,33, M_D = 53, M_E = 62,67 kN·m, M_F = 33,33, M_G = 0

الإجابة

علامة E: M_E = 62,67 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 66,13 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN، تؤثّر عند x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·9 + 4·10·5

R_B = 470/10 = 47 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 47 = 23 kN

أين يكون V = 0؟

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 23/4 = 5,75 m

أقصى عزم

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 23·5,75 − 4·5,75²/2 = 66,13 kN·m

الإجابة

M_max = 66,13 kN·m

يقع عند x = 5,75 m من A.

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: r = 72,34 mm

عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = I_c + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد. نصف قطر الدوران r = √(I/A) هو المسافة التي لو تركّزت عندها المساحة كلها لأعطت I نفسه؛ ويُستخدم في انبعاج الأعمدة.

المساحة الصافية وعزم القصور الذاتي

b = 100 mm, h = 180 mm

A = BH − bh = 120·200 − 100·180 = 6000 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 3,14 × 10⁷ mm⁴

نصف قطر الدوران

r = √(I/A) = √(3,14 × 10⁷/6000) = 72,34 mm

الإجابة

r = 72,34 mm

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 29,82 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (18000·75 − 3200·105)/(18000 − 3200) = 68,51 mm

اللوح الكامل حول ȳ

120·150³/12 + 18000·6,486² = 34,51 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

80·40³/12 + 3200·36,49² = 4,687 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 29,82 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 29,82 × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 72,8 MPa

نصف قطر دائرة مور

τ_max = R = √(((−80 − 60)/2)² + −20²) = 72,8 MPa

الإجابة

τ_max = 72,8 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: n = 10,84

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σ_Y؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σ_Y/2.

الإجهادات الرئيسية

C = 0 MPa, R = 22,36 MPa

σ₁ = 22,36 MPa, σ₂ = −22,36 MPa, σ₃ = 0

فون ميزس

σ_vM = √(22,36² − 22,36·(−22,36) + (−22,36)²) = 38,73 MPa

n = 420/38,73 = 10,84

الإجابة

n = 10,84

n > 1 يعني أن النقطة لا تخضع؛ وتريسكا أكثر تحفّظًا قليلًا من فون ميزس.

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_B = 17,76 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 9000 N, a = 3000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

الترخيم عند الطرف الحر

الترخيم عند الحمل زائد الميل عند الحمل مضروبًا في الطول المتبقي.

δ_P = Pa³/(3EI) = 7,105 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,003553 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 17,76 mm

الإجابة

δ_B = 17,76 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: h_req = 183,8 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 4500/360 = 12,5 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·4500⁴/(384·11000·12,5) = 7,766 × 10⁷ mm⁴

العمق المطلوب

bh³/12 = I_req → h = (12·7,766 × 10⁷/150)^1/3 = 183,8 mm

الإجابة

h_req = 183,8 mm

عمليًا، اختر العمق القياسي التالي الأكبر من هذه القيمة.

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 11,75 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/1750² = 11750 N = 11,75 kN

الإجابة

P_cr = 11,75 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 27,6 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2,5·10000 = 25000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·25000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 27,6 mm

الإجابة

d = 27,6 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 217,4، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials