مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب الفولاذ تحت الحمل المحوري.

P = 90 kNd = 30 mmL = 3 mE = 200 GPa

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

مقطع الفولاذ (القطر 20 mm والطول 500 mm وE = 200 GPa) ومقطع من البرونز (القطر 40 mm والطول 400 mm وE = 110 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 60 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ₂ في المقطع 2.

المقطع 1: الفولاذ, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: البرونز, Ø40 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من النحاس الأصفر طوله 3 m يحمل عزم التواء 750 N·m. يجب ألّا تتجاوز زاوية الالتواء بين طرفيه 2°. أوجد أصغر قطر d يحقّق هذا الحد.

T = 750 N·mL = 3 mG = 39 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مصمت 30 kW عند 750 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 75 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.

P = 30 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

60 kN @ 8 m30 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 4 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 6 mP = 50 kN عند 4 mw = 3 kN/m من 0 إلى 6 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أنبوب دائري قطره الخارجي D = 190 mm وقطره الداخلي d = 170 mm. أوجد نصف قطر الدوران r حول المحور المركزي الأفقي.

D = 190 mmd = 170 mm

r = mm

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

لوح أبعاده 120 mm × 150 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 60 mm وارتفاعها 20 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 60 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 120 mmh = 150 mmالفتحة: 60 × 20 mmمركز الثقب: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = 40 MPa، σᵧ = 40 MPa و τₓᵧ = 40 MPa، مع σ_z = 0. أوجد أقصى إجهاد قص مطلق τ_abs عند النقطة (مع مراعاة كل المستويات في ثلاثة أبعاد).

σ_x = 40 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 60 MPa و σᵧ = −20 MPa و τₓᵧ = −10 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 60° عكس عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = 60 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي طوله L مثبَّت عند A ويحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 1 m من A. أوجد الترخيم δ_P تحت الحمل.

P = 30 kNa = 1 mL = 2 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي I_req يحقّق هذا الحد.

w = 4 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. يجب أن يحمل 150 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 150 kNn = 3L = 1 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

d = mm

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 1,91 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 90·1000/706,9 = 127,3 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الفولاذ = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 127,3/200000 = 0,0006366 = 636,6 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,0006366·3000 mm = 1,91 mm

الإجابة

δ = 1,91 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ₂ = 35,01 MPa

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

الصلابات

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 110000·1257/400 = 345575 N/mm

حصة المقطع 2

F₂ = 60000·345575/471239 = 44000 N

الإجهاد

σ₂ = 44000/1257 = 35,01 MPa (ضغط)

الإجابة

σ₂ = 35,01 MPa

3.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 64,05 mm

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي المطلوب

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 750000·3000/(39000·0,03491) = 1,653 × 10⁶ mm⁴

القطر

d = (32J/π)^1/4 = 64,05 mm

الإجابة

d = 64,05 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 29,6 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 30000/78,54 = 382 N·m

القطر من الإجهاد المسموح

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·381972/(π·75)) = 29,6 mm

الإجابة

d = 29,6 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 8 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 45 kN, R₂ = 45 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 90, M_C = 120, M_D = 150, M_E = 180 kN·m, M_F = 90, M_G = 0

الإجابة

علامة E: M_E = 180 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 78,67 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·4 + 3·6·3

R_B = 254/6 = 42,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 68 − 42,33 = 25,67 kN

اقطع عند x = 4 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 25,67·4 − 3·4·2 = 78,67 kN·m

الإجابة

M_x = 78,67 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: r = 63,74 mm

عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = I_c + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد. نصف قطر الدوران r = √(I/A) هو المسافة التي لو تركّزت عندها المساحة كلها لأعطت I نفسه؛ ويُستخدم في انبعاج الأعمدة.

المساحة الصافية وعزم القصور الذاتي

A = π(D² − d²)/4 = 5655 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 2,297 × 10⁷ mm⁴

نصف قطر الدوران

r = √(I/A) = √(2,297 × 10⁷/5655) = 63,74 mm

الإجابة

r = 63,74 mm

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 33,42 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (18000·75 − 1200·60)/(18000 − 1200) = 76,07 mm

اللوح الكامل حول ȳ

120·150³/12 + 18000·−1,071² = 33,77 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

60·20³/12 + 1200·−16,07² = 0,3499 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 33,42 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 33,42 × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_abs = 40 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. في ثلاثة أبعاد، أقصى إجهاد قص مطلق هو (σ_max − σ_min)/2 على الإجهادات الرئيسية الثلاثة؛ وفي الإجهاد المستوي يكون الثالث صفرًا.

الإجهادان الرئيسيان في المستوى

C = 40 MPa, R = √(0² + 40²) = 40 MPa

σ₁ = 80 MPa, σ₂ = 0 MPa, σ_z = 0

أكبر الدوائر الثلاث

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(80, 80, 0)/2 = 40 MPa

الإجابة

τ_abs = 40 MPa

هنا σ₁ و σ₂ مختلفا الإشارة، لذا الحد الأقصى في المستوى R هو أيضًا الحد الأقصى المطلق.

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = −8,66 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = 20 + 40·−0,5 + −10·0,866 = −8,66 MPa

الإجابة

σ_θ = −8,66 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_P = 5,682 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 30000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

الترخيم تحت الحمل

δ_P = Pa³/(3EI) = 30000·1000³/(3·1,76 × 10¹²) = 5,682 mm

الإجابة

δ_P = 5,682 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: I_req = 13,64 × 10⁶ mm⁴

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·2000⁴/(384·11000·5,556) = 1,364 × 10⁷ mm⁴

I_req = 13,64 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_req = 13,64 × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 4,178 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/2100² = 4178 N = 4,178 kN

الإجابة

P_cr = 4,178 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 85,35 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 3·150000 = 450000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 85,35 mm

الإجابة

d = 85,35 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 93,73، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials