مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي
σ = F/A
الانفعال
ε = ΔL/L
قانون هوك
σ = E·ε
الاستطالة
ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري
εT = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص
τ = T·r/J
عمود مصمت
J = πd⁴/32
عمود مجوّف
J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء
φ = TL/(GJ)
القدرة
P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

  1. أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
  2. إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
  3. زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
  4. إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز
C = (σx + σy)/2
نصف القطر
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
الإجهادات الرئيسية
σ1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
مستوى مائل
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

الطريقة

  1. احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
  2. احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
  4. الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر
δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز
δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي
δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم
δ = wL⁴/(8EI)
التراكب
δ = δ1 + δ2

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر
Pcr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال
K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج
σcr = Pcr/A
النحافة
λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة
P = ?12600 mm500 mmØ30Ø40δ = 0,3 mm

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 30 mm والطول 600 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من النحاس (القطر 40 mm والطول 500 mm وE = 120 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,3 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: النحاس, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm
P = kN
2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة
P = ?Ø20120 GPaØ80/60300 mm

قضيب من الفولاذ (القطر 20 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 120 MPa) داخل أنبوب من النحاس (القطر الخارجي 80 mm والقطر الداخلي 60 mm وE = 120 GPa والإجهاد المسموح 70 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل Pmax.

القضيب: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPaالأنبوب: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
3.التواء الأعمدةمتوسطة
T = 400 N·md = 25 mmL = 1,2 mφ = ?

عمود مصمت من الفولاذ مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 400 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 80 GPa
φ = °
4.التواء الأعمدةصعبة
d = 40 mmT0​ = 400 N·mACBa = 2 mb = 0,5 m

عمود مصمت من الألومنيوم قطره 40 mm مثبَّت في جدارين صلبين عند طرفيه A و B. يؤثّر عزم التواء 400 N·m عند C، على بعد 2 m من A و 0,5 m من B. أوجد زاوية دوران المقطع C φC بالدرجات.

d = 40 mmT0 = 400 N·ma = 2 mb = 0,5 mG = 26 GPa
φC = °
5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
P1​ = 40 kNP2​ = 20 kNABC1,5 m4,5 m1,5 m

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1,5 m حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P1 بين الركيزتين وحملًا مركّزًا P2 عند C. أوجد عزم الانحناء Mx تحت الحمل P1. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 7,5 mP1 = 40 kN عند 1,5 mP2 = 20 kN عند 7,5 mركيزتان عند x = 0 و x = 6 m
Mx = kN·m
6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
w = 6 kN/mP = 55 kNABمقطع3 m3 m

أوجد عزم الانحناء Mx عند المقطع x = 3 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 6 mP = 55 kN عند 3 mw = 6 kN/m من 0 إلى 6 mx = 3 m
Mx = kN·m
7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
1602018016xالأبعاد بالـ mm

أوجد عزم القصور الذاتي Ix لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

bf = 160 mmtf = 20 mmtw = 16 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
150 mm240 mm96 mm30 × 30xIx​ = ?

لوح أبعاده 150 mm × 240 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 30 mm وارتفاعها 30 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 96 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 150 mmh = 240 mmالفتحة: 30 × 30 mmمركز الثقب: y = 96 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة
σx​ = 130σy​ = 80τxy​ = −20MPa

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 130 MPa و σᵧ = 80 MPa و τₓᵧ = −20 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τmax.

σx = 130 MPaσy = 80 MPaτxy = −20 MPa
τmax = MPa
10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة
σx​ = 40σy​ = 100τxy​ = 30MPa

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = 40 MPa، σᵧ = 100 MPa و τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0). أوجد الإجهاد المكافئ وفق فون ميزس σvM.

σx = 40 MPaσy = 100 MPaτxy = 30 MPa
σvM = MPa
11.ترخيم الكمرةمتوسطة
w = 15 kN/mδL = 2 m

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δmax عند منتصف البحر.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.ترخيم الكمرةصعبة
w = 8 kN/mP = 28 kNδL = 2,5 m

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w وحملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δmax.

P = 28 kNw = 8 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.انبعاج الأعمدةمتوسطة
PL = 4 md = 20 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 20 mm
Pcr = kN
14.انبعاج الأعمدةصعبة
P = 30 kNL = 1,5 md = ?المقطع العرضي

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 30 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 30 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)
d = mm

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 39,68 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، Pi = P·EiAi/ΣEA، وσi = Ei·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1257 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·1257) = 3,316 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,3/7,56 × 10⁻⁶ = 39683 N = 39,68 kN

الإجابة

P = 39,68 kN
2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: Pmax = 190,6 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، Pi = P·EiAi/ΣEA، وσi = Ei·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·2199 = 3,267 × 10⁸ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,0006, 0,0005833) = 0,0005833 (النحاس)

أكبر حمل

Pmax = 0,0005833·3,267 × 10⁸ = 190590 N = 190,6 kN

الإجابة

Pmax = 190,6 kN
3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 8,964 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1200/(80000·38350) = 0,1565 rad
φ = 0,1565·180/π = 8,964°

الإجابة

φ = 8,964°
4.التواء الأعمدة

الإجابة: φC = 1,403 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω. عندما يكون الطرفان مثبَّتين، يعطي علم السكون وحده TA + TB = T₀ فقط؛ والمعادلة الثانية هي التوافق (تساوي التواء الجزأين عند المقطع المحمَّل).

الاتزان والتوافق

TA + TB = 400
TA·a = TB·b
TA = 400·0,5/2,5 = 80 N·m
TB = 400·2/2,5 = 320 N·m

دوران C

استخدم الجزء AC: إنه مثبَّت عند A ويحمل TA.

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 80000·2000/(26000·251327) = 0,02449 rad = 1,403°

الإجابة

φC = 1,403°
5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mx = 37,5 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها. حمل الجزء البارز يؤثّر أيضًا بعزم حول A.

ΣMA = 0: RB·6 = 40·1,5 + 20·7,5
RB = 210/6 = 35 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 35 = 25 kN

اقطع تحت P1 واحتفظ بالجزء الأيسر

Mx = RA·1,5 = 25·1,5 = 37,5 kN·m

الإجابة

Mx = 37,5 kN·m
6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mx = 109,5 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 55·3 + 6·6·3
RB = 273/6 = 45,5 kN
ΣFy = 0: RA = 91 − 45,5 = 45,5 kN
w = 6 kN/mP = 55 kNABRA​ = 45,5RB​ = 45,5مقطع3 m3 m

اقطع عند x = 3 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = RA·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)
Mx = 45,5·3 − 6·3·1,5 = 109,5 kN·m

الإجابة

Mx = 109,5 kN·m
7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Ix = 23,04 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: Af = 160·20 = 3200 mm², yf = 180 + 20/2 = 190 mm
الجذع: Aw = 16·180 = 2880 mm², yw = 180/2 = 90 mm

المركز

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3200·190 + 2880·90)/6080 = 142,6 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 160·20³/12 + 3200·(190 − 142,6)² = 7,287 × 10⁶ mm⁴
الجذع: 16·180³/12 + 2880·(90 − 142,6)² = 1,575 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7,287 × 10⁶ + 1,575 × 10⁷ = 2,304 × 10⁷ mm⁴ = 23,04 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ix = 23,04 × 10⁶ mm⁴
8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Ix = 172,2 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (36000·120 − 900·96)/(36000 − 900) = 120,6 mm

اللوح الكامل حول ȳ

150·240³/12 + 36000·−0,6154² = 172,8 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

30·30³/12 + 900·−24,62² = 0,6128 × 10⁶ mm⁴

اطرح

Ix = 172,2 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ix = 172,2 × 10⁶ mm⁴
9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τmax = 32,02 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

σxyCτmax​

نصف قطر دائرة مور

τmax = R = √(((130 − 80)/2)² + −20²) = 32,02 MPa

الإجابة

τmax = 32,02 MPa
10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σvM = 101,5 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σY؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σY/2.

στxyCσ1​σ2​

الإجهادات الرئيسية

C = 70 MPa, R = 42,43 MPa
σ1 = 112,4 MPa, σ2 = 27,57 MPa, σ3 = 0

فون ميزس

σvM = √(112,4² − 112,4·27,57 + 27,57²) = 101,5 MPa

الإجابة

σvM = 101,5 MPa
11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δmax = 12,35 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2000 mm
EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

الترخيم

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 12,35 mm

الإجابة

δmax = 12,35 mm
12.ترخيم الكمرة

الإجابة: δmax = 1,177 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 28000 N, w = 8 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

كل حمل منفردًا

δP = PL³/(48EI) = 28000·2500³/(48·1,12 × 10¹³) = 0,8138 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2500⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 0,3633 mm

اجمعها

δmax = 0,8138 + 0,3633 = 1,177 mm

الإجابة

δmax = 1,177 mm
13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: Pcr = 3,876 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

الحمل الحرج

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2000² = 3876 N = 3,876 kN

الإجابة

Pcr = 3,876 kN
14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 36,33 mm

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

الحمل الحرج المطلوب

Pcr = n·P = 2,5·30000 = 75000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 36,33 mm

الإجابة

d = 36,33 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 165,2، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials