مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 20 mm والطول 300 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من البرونز (القطر 50 mm والطول 400 mm وE = 110 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,4 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: البرونز, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σ_max في القضيب.

P = 75 kNالجزء 1: Ø25 mm، 0,5 m، الفولاذ (E = 200 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 0,5 m، الفولاذ (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من النحاس الأصفر طوله 1 m يحمل عزم التواء 1500 N·m. يجب ألّا تتجاوز زاوية الالتواء بين طرفيه 1,5°. أوجد أصغر قطر d يحقّق هذا الحد.

T = 1500 N·mL = 1 mG = 39 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مصمت 50 kW عند 750 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 75 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.

P = 50 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

45 kN @ 6 m4 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

30 kN @ 6 m40 kN @ 2 m6 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع I متماثل له شفتان عرض كلٍّ منهما 220 mm وسُمكها 20 mm، وعمق كلي 360 mm، وجذع سُمكه 12 mm. أوجد عزم قصوره الذاتي I_x حول المحور المركزي الأفقي x.

B = 220 mmH = 360 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 5 kN·m. أوجد إجهاد الانحناء σ_الأسفل عند الحافة السفلية.

b_f = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 120 mmM = 5 kN·m

σ_الأسفل = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 80 MPa، σᵧ = 30 MPa و τₓᵧ = 30 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 15° عكس عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σ_y′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.

σ_x = 80 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 15°

σ_y′ = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 80 MPa و σᵧ = 100 MPa و τₓᵧ = 50 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 30° باتجاه عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = 80 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 50 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

w = 5 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة خشبية بسيطة الارتكاز ذات مقطع مستطيل عرضه 75 mm تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. لا يجوز أن يتجاوز ترخيم منتصفها البحر/300. أوجد أصغر عمق h_req للمقطع.

w = 2,5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)b = 75 mm

h_req = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 50 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 60,36 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1963 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·1963) = 1,852 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,4/6,627 × 10⁻⁶ = 60362 N = 60,36 kN

الإجابة

P = 60,36 kN

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ_max = 238,7 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 152,8 MPa

σ₂ = 238,7 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σ_max = 238,7 MPa

الإجابة

σ_max = 238,7 MPa

3.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 62,2 mm

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي المطلوب

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 1,5 × 10⁶·1000/(39000·0,02618) = 1,469 × 10⁶ mm⁴

القطر

d = (32J/π)^1/4 = 62,2 mm

الإجابة

d = 62,2 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 35,1 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m

القطر من الإجهاد المسموح

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·75)) = 35,1 mm

الإجابة

d = 35,1 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: D (x = 6 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 45,83 kN, R₂ = 39,17 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 83,67, M_C = 151,3, M_D = 203 kN·m, M_E = 148,7, M_F = 78,33, M_G = 0

الإجابة

علامة D: M_D = 203 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 4 m)

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 17 kN, R₂ = 77 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 14, M_C = 22, M_D = −16, M_E = −60 kN·m, M_F = −30, M_G = 0

الإجابة

علامة E: M_E = −60 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 287,4 × 10⁶ mm⁴

عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = I_c + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد.

المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين

عرض الفراغين معًا (B − t_w) وارتفاعهما h_w = H − 2t_f، ويشتركان في المحور x.

h_w = 360 − 2·20 = 320 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (220·360³ − 208·320³)/12

I_x = 2,874 × 10⁸ mm⁴ = 287,4 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 287,4 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأسفل = 92,01 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 240·20 = 4800 mm², y_f = 120 + 20/2 = 130 mm

الجذع: A_w = 10·120 = 1200 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·130 + 1200·60)/6000 = 116 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 240·20³/12 + 4800·(130 − 116)² = 1,101 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 10·120³/12 + 1200·(60 − 116)² = 5,203 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,101 × 10⁶ + 5,203 × 10⁶ = 6,304 × 10⁶ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة السفلية ȳ عن المحور.

y = 116 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·116/6,304 × 10⁶ = 92,01 MPa

الإجابة

σ_الأسفل = 92,01 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_y′ = 18,35 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

معادلة التحويل للوجه y′

σ_y′ = 55 − 25·0,866 − 30·0,5 = 18,35 MPa

تحقّق

مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.

σ_x′ = 91,65 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 110 = σ_x + σ_y

الإجابة

σ_y′ = 18,35 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = 41,7 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = 90 + −10·0,5 + 50·−0,866 = 41,7 MPa

الإجابة

σ_θ = 41,7 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 40,1 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 4000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

الترخيم

δ = wL⁴/(8EI) = 5·4000⁴/(8·3,99 × 10¹²) = 40,1 mm

الإجابة

δ = 40,1 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: h_req = 156,5 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

حدّ الترخيم

δ_allow = L/300 = 3000/300 = 10 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·3000⁴/(384·11000·10) = 2,397 × 10⁷ mm⁴

العمق المطلوب

bh³/12 = I_req → h = (12·2,397 × 10⁷/75)^1/3 = 156,5 mm

الإجابة

h_req = 156,5 mm

عمليًا، اختر العمق القياسي التالي الأكبر من هذه القيمة.

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 269,2 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1500² = 269152 N = 269,2 kN

الإجابة

P_cr = 269,2 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 21,93 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/5 = 300

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

الإجابة

σ_cr = 21,93 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials