مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب الفولاذ، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 75 kNd = 30 mmL = 3 mE = 200 GPa

ε = µε

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 40 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 200 MPa) داخل أنبوب من النحاس الأصفر (القطر الخارجي 120 mm والقطر الداخلي 60 mm وE = 100 GPa والإجهاد المسموح 60 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaالأنبوب: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الفولاذ مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 200 N·md = 20 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مجوّف 15 kW بسرعة 1800 rpm. يُراد أن يكون قطره الداخلي 0,75 مرة من قطره الخارجي، ويجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 75 MPa. أوجد أصغر قطر خارجي d_o.

P = 15 kWN = 1800 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل ازدواجًا باتجاه عقارب الساعة M₀ = 10 kN·m عند x = 1 m من A، ولا يوجد حمل آخر. أوجد عزم الانحناء M_x يمين الازدواج مباشرةً. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 6 mM₀ = 10 kN·m باتجاه عقارب الساعة، عند 1 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 4 mP = 55 kN عند 1,5 mw = 12 kN/m من 0 إلى 4 m

M_max = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 200 mm × 300 mm فيه ثقب دائري قطره 60 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 195 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 200 mmh = 300 mmd = 60 mmمركز الثقب: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

مقطع I متماثل له شفتان عرض كلٍّ منهما 140 mm وسُمكها 16 mm، وعمق كلي 460 mm، وجذع سُمكه 6 mm. يحمل عزم انحناء مقداره 30 kN·m حول المحور x. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_j عند ملتقى الجذع والشفة العلوية.

B = 140 mmH = 460 mmt_f = 16 mmt_w = 6 mmM = 30 kN·m

σ_j = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 130 MPa، σᵧ = 50 MPa و τₓᵧ = −20 MPa (الشد موجب). أوجد الزاوية θ_s، بين −90° و 90°، من المحور x إلى العمودي على المستوى الذي يبلغ عليه إجهاد القص قيمته الموجبة القصوى +R (القص موجب في اتجاه τₓᵧ نفسه).

σ_x = 130 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = 60 MPa، σᵧ = 0 MPa و τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). إجهاد خضوع المادة 300 MPa. أوجد معامل الأمان n ضد الخضوع وفق معيار فون ميزس (طاقة التشوّه).

σ_x = 60 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد ميل الكمرة θ_A عند الركيزة A، بالراديان.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي I_req يحقّق هذا الحد.

w = 4 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 30 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 530,5 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 75·1000/706,9 = 106,1 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الفولاذ = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 106,1/200000 = 0,0005305 = 530,5 µε

الإجابة

ε = 530,5 µε

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 659,7 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·8482 = 1,1 × 10⁹ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,001, 0,0006) = 0,0006 (النحاس الأصفر)

أكبر حمل

P_max = 0,0006·1,1 × 10⁹ = 659734 N = 659,7 kN

الإجابة

P_max = 659,7 kN

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 22,8 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(80000·15708) = 0,3979 rad

φ = 0,3979·180/π = 22,8°

الإجابة

φ = 22,8°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d_o = 19,92 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 15000/188,5 = 79,58 N·m

القطر الخارجي من الإجهاد المسموح

T = 79,58 N·m = 79577 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·79577/(π·75·0,6836)) = 19,92 mm

d_i = 0,75·19,92 = 14,94 mm

الإجابة

d_o = 19,92 mm

العمود المصمت يحتاج إلى d = 17,55 mm؛ والمجوّف أكبر قليلًا لكنه أخفّ بكثير.

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 8,333 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. الازدواج المؤثّر يجعل مخطط عزم الانحناء يقفز بمقدار الازدواج.

ردود أفعال الركائز

العزوم حول A، عكس عقارب الساعة موجب: R_B·L − M₀ = 0. الاتزان الرأسي: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 10/6 = 1,667 kN (إلى الأعلى)

R_A = −R_B = −1,667 kN (إلى الأسفل)

اقطع يمين الازدواج مباشرةً

يحتوي الجزء الأيسر الآن على R_A والازدواج.

M_x = R_A·a + M₀ = −1,667·1 + 10 = 8,333 kN·m

الإجابة

M_x = 8,333 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 74,06 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·1,5 + 12·4·2

R_B = 178,5/4 = 44,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 103 − 44,63 = 58,38 kN

أين يكون V = 0؟

V(1,5⁻) = R_A − w·1,5 = 40,38 kN

V(1,5⁺) = 40,38 − 55 = −14,63 kN

يتغيّر القص في إشارته عند الحمل، لذا يقع الحد الأقصى تحت الحمل.

أقصى عزم

M_max = R_A·1,5 − w·1,5²/2 = 58,38·1,5 − 12·1,5²/2 = 74,06 kN·m

الإجابة

M_max = 74,06 kN·m

يقع عند x = 1,5 m من A.

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 443,4 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (60000·150 − 2827·195)/(60000 − 2827) = 147,8 mm

اللوح الكامل حول ȳ

200·300³/12 + 60000·2,225² = 450,3 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·60⁴/64 + 2827·47,23² = 6,942 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 443,4 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 443,4 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_j = 24,68 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين

عرض الفراغين معًا (B − t_w) وارتفاعهما h_w = H − 2t_f، ويشتركان في المحور x.

h_w = 460 − 2·16 = 428 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (140·460³ − 134·428³)/12

I_x = 2,601 × 10⁸ mm⁴

إجهاد الانحناء

y = 230 − 16 = 214 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·214/2,601 × 10⁸ = 24,68 MPa

الإجابة

σ_j = 24,68 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_s = −58,28 °

الزاوية على الدائرة

على دائرة مور تبعد نقطة القمة (+R) بـ 90° عن النقطة الرئيسية σ₁؛ وعلى العنصر يعادل ذلك 45°.

cos 2θ_s = −20/44,72 = −0,4472, sin 2θ_s = −40/44,72 = −0,8944

2θ_s = atan2(−40, −20) = −116,6°

الزاوية على العنصر

θ_s = −58,28°

تحقّق: θ_s − θ_p = −58,28 − (−13,28) = −45°

الإجابة

θ_s = −58,28°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: n = 4,804

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σ_Y؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σ_Y/2.

الإجهادات الرئيسية

C = 30 MPa, R = 31,62 MPa

σ₁ = 61,62 MPa, σ₂ = −1,623 MPa, σ₃ = 0

فون ميزس

σ_vM = √(61,62² − 61,62·(−1,623) + (−1,623)²) = 62,45 MPa

n = 300/62,45 = 4,804

الإجابة

n = 4,804

n > 1 يعني أن النقطة لا تخضع؛ وتريسكا أكثر تحفّظًا قليلًا من فون ميزس.

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: θ_A = 0,003913 rad

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). الميل θ = dv/dx هو التكامل الأول لـ M/(EI)؛ وبوحدات متّسقة يخرج بالراديان.

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 6000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

ميل الطرف

θ_A = wL³/(24EI) = 2·6000³/(24·4,6 × 10¹²) = 0,003913 rad

الإجابة

θ_A = 0,003913 rad

أي 0,2242°.

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: I_req = 5,753 × 10⁶ mm⁴

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·1500⁴/(384·11000·4,167) = 5,753 × 10⁶ mm⁴

I_req = 5,753 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_req = 5,753 × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 34,88 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1500² = 34882 N = 34,88 kN

الإجابة

P_cr = 34,88 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 12,34 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/6,25 = 400

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

الإجابة

σ_cr = 12,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials