مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب النحاس، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 25 kNd = 16 mmL = 1 mE = 117 GPa

ε = µε

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σ_max في القضيب.

P = 35 kNالجزء 1: Ø40 mm، 1 m، الفولاذ (E = 200 GPa)الجزء 2: Ø12 mm، 2 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الفولاذ مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 100 kW عند 3000 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 100 kWN = 3000 rpmd_o = 80 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

45 kN @ 4 m45 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 4 mP = 35 kN عند 3 mw = 12 kN/m من 0 إلى 4 m

M_max = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 150 mm × 150 mm فيه ثقب دائري قطره 60 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 60 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 150 mmh = 150 mmd = 60 mmمركز الثقب: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 10 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_الأعلى عند الحافة العلوية.

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 120 mmM = 10 kN·m

σ_الأعلى = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = −50 MPa، σᵧ = −70 MPa و τₓᵧ = −20 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 20° عكس عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σ_y′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.

σ_x = −50 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 20°

σ_y′ = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

عمود مصمت قطره 30 mm يحمل قوة ضغط محورية مقدارها 80 kN مع عزم التواء 200 N·m. عند سطح العمود، أوجد أكبر إجهاد رئيسي σ₁.

d = 30 mmF = −80 kNT = 200 N·m

σ₁ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي I_req يحقّق هذا الحد.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 60 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. يجب أن يحمل 65 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 65 kNn = 2L = 1,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

d = mm

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 1063 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 25·1000/201,1 = 124,3 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 124,3/117000 = 0,001063 = 1063 µε

الإجابة

ε = 1063 µε

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ_max = 309,5 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 27,85 MPa

σ₂ = 309,5 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σ_max = 309,5 MPa

الإجابة

σ_max = 309,5 MPa

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 1,751 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1500/(80000·613592) = 0,03056 rad

φ = 0,03056·180/π = 1,751°

الإجابة

φ = 1,751°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 3,377 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 100000/314,2 = 318,3 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(80⁴ − 40⁴)/32 = 3,77 × 10⁶ mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 318310·40/3,77 × 10⁶ = 3,377 MPa

الإجابة

τ_max = 3,377 MPa

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: C (x = 4 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 37,5 kN, R₂ = 52,5 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 75, M_C = 150 kN·m, M_D = 135, M_E = 120, M_F = 105, M_G = 0

الإجابة

علامة C: M_C = 150 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 44,69 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·3 + 12·4·2

R_B = 201/4 = 50,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 83 − 50,25 = 32,75 kN

أين يكون V = 0؟

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 32,75/12 = 2,729 m

أقصى عزم

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 32,75·2,729 − 12·2,729²/2 = 44,69 kN·m

الإجابة

M_max = 44,69 kN·m

يقع عند x = 2,729 m من A.

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 40,82 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (22500·75 − 2827·60)/(22500 − 2827) = 77,16 mm

اللوح الكامل حول ȳ

150·150³/12 + 22500·−2,156² = 42,29 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−17,16² = 1,468 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 40,82 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 40,82 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأعلى = 33,9 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 260·20 = 5200 mm², y_f = 120 + 20/2 = 130 mm

الجذع: A_w = 12·120 = 1440 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5200·130 + 1440·60)/6640 = 114,8 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 260·20³/12 + 5200·(130 − 114,8)² = 1,372 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 12·120³/12 + 1440·(60 − 114,8)² = 6,055 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,372 × 10⁶ + 6,055 × 10⁶ = 7,427 × 10⁶ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.

y = 140 − 114,8 = 25,18 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·25,18/7,427 × 10⁶ = 33,9 MPa

الإجابة

σ_الأعلى = 33,9 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_y′ = −54,8 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

معادلة التحويل للوجه y′

σ_y′ = −60 − 10·0,766 − (−20)·0,6428 = −54,8 MPa

تحقّق

مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.

σ_x′ = −65,2 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −120 = σ_x + σ_y

الإجابة

σ_y′ = −54,8 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ₁ = 11,42 MPa

الإجهادات عند السطح

σ = F/A = −80000/(π·30²/4) = −80000/706,9 = −113,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·30³) = 37,73 MPa

دائرة مور

C = σ/2 = −56,59 MPa

R = √((−56,59)² + 37,73²) = 68,01 MPa

σ₁ = C + R = 11,42 MPa

σ₂ = C − R = −124,6 MPa

الإجابة

σ₁ = 11,42 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 1,582 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

الترخيم

δ = wL⁴/(8EI) = 5·3000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 1,582 mm

الإجابة

δ = 1,582 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: I_req = 266,3 × 10⁶ mm⁴

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·5000⁴/(384·11000·13,89) = 2,663 × 10⁸ mm⁴

I_req = 266,3 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_req = 266,3 × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 27,47 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·4000 = 4000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/4000² = 27470 N = 27,47 kN

الإجابة

P_cr = 27,47 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 76,64 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2·65000 = 130000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 76,64 mm

الإجابة

d = 76,64 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 156,6، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials