مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب من الفولاذ (القطر 25 mm وE = 200 GPa) داخل أنبوب من النحاس الأصفر (القطر الخارجي 120 mm والقطر الداخلي 70 mm وE = 100 GPa). طول كل منهما 500 mm، ويُضغطان معًا بين لوحين صلبين بقوة 150 kN. أوجد الانضغاط δ.

P = 150 kNالقضيب: Ø25 mm, E = 200 GPaالأنبوب: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 115 kNالجزء 1: Ø35 mm، 1,5 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)الجزء 2: Ø12 mm، 0,5 m، الفولاذ (E = 200 GPa)

δ = mm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الفولاذ طوله 3 m يحمل عزم التواء 1500 N·m. يجب ألّا تتجاوز زاوية الالتواء بين طرفيه 0,5°. أوجد أصغر قطر d يحقّق هذا الحد.

T = 1500 N·mL = 3 mG = 80 GPaφ_allow = 0,5°

d = mm

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من النحاس الأصفر قطره 40 mm مثبَّت عند A. يؤثّر عزم التواء 500 N·m عند B على بعد 0,5 m من A، ويؤثّر عزم التواء 1000 N·m في الاتجاه المعاكس عند الطرف الحر C، على بعد 2,5 m إضافية. أوجد مقدار زاوية التواء الطرف C φ_C بالدرجات.

d = 40 mmT_B = 500 N·mT_C = 1000 N·mAB = 0,5 mBC = 2,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 2 m حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P₁ بين الركيزتين وحملًا مركّزًا P₂ عند C. أوجد عزم الانحناء M_x تحت الحمل P₁. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 10 mP₁ = 45 kN عند 2 mP₂ = 10 kN عند 10 mركيزتان عند x = 0 و x = 8 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 2,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5 mP = 50 kN عند 2,5 mw = 5 kN/m من 0 إلى 5 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 100 mm × 240 mm فيه ثقب دائري قطره 60 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 168 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 100 mmh = 240 mmd = 60 mmمركز الثقب: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 50 kN·m. أوجد إجهاد الانحناء σ_الأسفل عند الحافة السفلية.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 240 mmM = 50 kN·m

σ_الأسفل = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −10 MPa و σᵧ = 100 MPa و τₓᵧ = −30 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

σ_x = −10 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

عمود مصمت قطره 25 mm يحمل قوة شد محورية مقدارها 180 kN مع عزم التواء 200 N·m. عند سطح العمود، أوجد أكبر إجهاد رئيسي σ₁.

d = 25 mmF = 180 kNT = 200 N·m

σ₁ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δ_max عند منتصف البحر.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي I_req يحقّق هذا الحد.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 60 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 65 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 65 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

d = mm

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 0,08883 mm

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·7461 = 8,443 × 10⁸ N

الانضغاط

δ = 150000·500/8,443 × 10⁸ = 0,08883 mm

الإجابة

δ = 0,08883 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 5,103 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 119,5 MPa

σ₂ = 1017 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 119,5·1500/70000 = 2,561 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 1017·500/200000 = 2,542 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,103 mm

الإجابة

δ = 5,103 mm

3.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 90,02 mm

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي المطلوب

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad

J = TL/(Gφ) = 1,5 × 10⁶·3000/(80000·0,008727) = 6,446 × 10⁶ mm⁴

القطر

d = (32J/π)^1/4 = 90,02 mm

الإجابة

d = 90,02 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: φ_C = 16,07 °

عزوم الالتواء الداخلية

اتجاه T_C مأخوذ موجبًا.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1000 − 500 = 500 N·m

التواء كل جزء

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 500000·500/(39000·251327) = 0,02551 rad

φ_BC = 1 × 10⁶·2500/(39000·251327) = 0,2551 rad

التواء الطرف C

φ_C = 0,02551 + 0,2551 = 0,2806 rad → |φ_C| = 16,07°

الإجابة

φ_C = 16,07°

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 62,5 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها. حمل الجزء البارز يؤثّر أيضًا بعزم حول A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·2 + 10·10

R_B = 190/8 = 23,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 23,75 = 31,25 kN

اقطع تحت P₁ واحتفظ بالجزء الأيسر

M_x = R_A·2 = 31,25·2 = 62,5 kN·m

الإجابة

M_x = 62,5 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 78,13 kN·m

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·2,5 + 5·5·2,5

R_B = 187,5/5 = 37,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 37,5 = 37,5 kN

اقطع عند x = 2,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 37,5·2,5 − 5·2,5·1,25 = 78,13 kN·m

الإجابة

M_x = 78,13 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 107,2 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (24000·120 − 2827·168)/(24000 − 2827) = 113,6 mm

اللوح الكامل حول ȳ

100·240³/12 + 24000·6,41² = 116,2 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·60⁴/64 + 2827·54,41² = 9,007 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 107,2 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 107,2 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأسفل = 270,5 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 240 + 30/2 = 255 mm

الجذع: A_w = 10·240 = 2400 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·255 + 2400·120)/5400 = 195 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 100·30³/12 + 3000·(255 − 195)² = 1,103 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 10·240³/12 + 2400·(120 − 195)² = 2,502 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,103 × 10⁷ + 2,502 × 10⁷ = 3,604 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة السفلية ȳ عن المحور.

y = 195 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·195/3,604 × 10⁷ = 270,5 MPa

الإجابة

σ_الأسفل = 270,5 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 62,65 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

نصف قطر دائرة مور

τ_max = R = √(((−10 − 100)/2)² + −30²) = 62,65 MPa

الإجابة

τ_max = 62,65 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ₁ = 377,9 MPa

الإجهادات عند السطح

σ = F/A = 180000/(π·25²/4) = 180000/490,9 = 366,7 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·25³) = 65,19 MPa

دائرة مور

C = σ/2 = 183,3 MPa

R = √(183,3² + 65,19²) = 194,6 MPa

σ₁ = C + R = 377,9 MPa

σ₂ = C − R = −11,24 MPa

الإجابة

σ₁ = 377,9 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 1,938 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 5000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

الترخيم

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·5000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 1,938 mm

الإجابة

δ_max = 1,938 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: I_req = 138,1 × 10⁶ mm⁴

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·3000⁴/(384·11000·8,333) = 1,381 × 10⁸ mm⁴

I_req = 138,1 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_req = 138,1 × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 34,88 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·6000 = 6000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/6000² = 34882 N = 34,88 kN

الإجابة

P_cr = 34,88 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 81,04 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2,5·65000 = 162500 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 81,04 mm

الإجابة

d = 81,04 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 148,1، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials

مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

التواء الأعمدة

الطريقة

قوة القص وعزم الانحناء

الطريقة

المركز وعزم القصور الذاتي

دائرة مور وتحويل الإجهاد

الطريقة

ترخيم الكمرة

انبعاج الأعمدة

2مسائل تدريبية

3المحاليل

المساحات

الصلابة المحورية المشتركة

الانضغاط

الإجابة

القوة نفسها في الجزأين

اجمع استطالات الأجزاء

الإجابة

عزم القصور القطبي المطلوب

القطر

الإجابة

عزوم الالتواء الداخلية

التواء كل جزء

التواء الطرف C

الإجابة

ردود أفعال الركائز

اقطع تحت P1 واحتفظ بالجزء الأيسر

الإجابة

ردود أفعال الركائز

اقطع عند x = 2,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

الإجابة

المركز

اللوح الكامل حول ȳ

الثقب حول ȳ

اطرح

الإجابة

قسّم إلى مستطيلين

المركز

نظرية المحور الموازي

إجهاد الانحناء

الإجابة

نصف قطر دائرة مور

الإجابة

الإجهادات عند السطح

دائرة مور

الإجابة

وحدات متّسقة

الترخيم

الإجابة

حدّ الترخيم

عزم القصور الذاتي المطلوب

الإجابة

أصغر عزم قصور ذاتي

الطول الفعّال

الحمل الحرج

الإجابة

الحمل الحرج المطلوب

حلّ لإيجاد القطر

الإجابة

اقطع تحت P₁ واحتفظ بالجزء الأيسر