مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي
σ = F/A
الانفعال
ε = ΔL/L
قانون هوك
σ = E·ε
الاستطالة
ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري
εT = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص
τ = T·r/J
عمود مصمت
J = πd⁴/32
عمود مجوّف
J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء
φ = TL/(GJ)
القدرة
P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

  1. أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
  2. إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
  3. زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
  4. إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز
C = (σx + σy)/2
نصف القطر
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
الإجهادات الرئيسية
σ1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
مستوى مائل
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

الطريقة

  1. احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
  2. احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
  4. الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر
δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز
δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي
δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم
δ = wL⁴/(8EI)
التراكب
δ = δ1 + δ2

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر
Pcr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال
K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج
σcr = Pcr/A
النحافة
λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة
P = ?12400 mm500 mmØ25Ø40δ = 0,2 mm

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 25 mm والطول 400 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من البرونز (القطر 40 mm والطول 500 mm وE = 110 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,2 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: البرونز, Ø40 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0,2 mm
P = kN
2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة
Ø 35 mmالألومنيوم1,5 mØ 20 mmالنحاس الأصفر1,5 mP = 100 kN

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σmax في القضيب.

P = 100 kNالجزء 1: Ø35 mm، 1,5 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 1,5 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.التواء الأعمدةمتوسطة
T = 250 N·md = 50 mmL = 2,5 mφ = ?

عمود مصمت من الفولاذ مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 250 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.التواء الأعمدةصعبة
d = ?30 kW, 750 rpm

عمود مصمت من الألومنيوم ينقل 30 kW بسرعة 750 rpm. يجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 40 MPa وألّا يتجاوز الالتواء 0,25° لكل m من الطول. أوجد أصغر قطر d يحقّق الحدّين كليهما.

P = 30 kWN = 750 rpmτallow = 40 MPaθallow = 0,25°/mG = 26 GPa
d = mm
5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
w = 2 kN/mP = 65 kNAB3 m

الكابولي مثبَّت عند A. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P على بعد 3 m من A. أوجد عزم الانحناء MA عند الركيزة المثبَّتة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 3 mP = 65 kN عند 3 mw = 2 kN/m من 0 إلى 3 m
MA = kN·m
6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
45 kN30 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

45 kN @ 0 m30 kN @ 12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
200252808xالأبعاد بالـ mm

أوجد عزم القصور الذاتي Ix لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

bf = 200 mmtf = 25 mmtw = 8 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
2401518018xM = 10 kN·mالأبعاد بالـ mm

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 10 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σالأعلى عند الحافة العلوية.

bf = 240 mmtf = 15 mmtw = 18 mmhw = 180 mmM = 10 kN·m
σالأعلى = MPa
9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة
σx​ = −60σy​ = 10τxy​ = 20MPa

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −60 MPa و σᵧ = 10 MPa و τₓᵧ = 20 MPa (الشدّ موجب). أوجد الزاوية θp من المحور x إلى اتجاه أكبر إجهاد رئيسي، بين −90° و 90°.

σx = −60 MPaσy = 10 MPaτxy = 20 MPa
θp = °
10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة
σx​τxy​السطح العلوي للعمود

عمود مصمت قطره 60 mm يحمل عزم انحناء مقداره 300 N·m مع عزم التواء 1500 N·m. عند السطح العلوي، حيث يكون إجهاد الانحناء شدًّا وأكبر ما يمكن، أوجد أكبر إجهاد رئيسي σ1.

d = 60 mmM = 300 N·mT = 1500 N·m
σ1 = MPa
11.ترخيم الكمرةمتوسطة
w = 5 kN/mδL = 8 m

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δmax عند منتصف البحر.

w = 5 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.ترخيم الكمرةصعبة
w = 3 kN/mABδ6 m

كمرة خشبية بسيطة الارتكاز ذات مقطع مستطيل عرضه 150 mm تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. لا يجوز أن يتجاوز ترخيم منتصفها البحر/300. أوجد أصغر عمق hreq للمقطع.

w = 3 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)b = 150 mm
hreq = mm
13.انبعاج الأعمدةمتوسطة
PL = 1 md = 60 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.

L = 1 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 60 mm
Pcr = kN
14.انبعاج الأعمدةصعبة
PL = 1,5 md = 20 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σcr من صيغة أويلر.

L = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 20 mm
σcr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 26 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، Pi = P·EiAi/ΣEA، وσi = Ei·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1257 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·1257) = 3,617 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,2/7,692 × 10⁻⁶ = 26003 N = 26 kN

الإجابة

P = 26 kN
2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σmax = 318,3 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 103,9 MPa
σ2 = 318,3 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σmax = 318,3 MPa

الإجابة

σmax = 318,3 MPa
3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 0,7295 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2500/(80000·613592) = 0,01273 rad
φ = 0,01273·180/π = 0,7295°

الإجابة

φ = 0,7295°
4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 76,53 mm

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 30000/78,54 = 382 N·m

القطر وفق المقاومة

T = 382 N·m = 381972 N·mm
dτ = ∛(16·381972/(π·40)) = 36,5 mm

القطر وفق الجساءة

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·381972/(π·26000·4,363 × 10⁻⁶))1/4 = 76,53 mm

القطر الحاكم

يجب تحقيق الحدّين كليهما، لذا يحكم القطر الأكبر.

d = max(36,5, 76,53) = 76,53 mm

الإجابة

d = 76,53 mm

هنا تحكم الجساءة.

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: MA = −204 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

احتفظ بجزء الطرف الحر

P: −65·3 = −195 kN·m
w: −2·3²/2 = −9 kN·m
MA = −195 − 9 = −204 kN·m

الإجابة

MA = −204 kN·m

الإشارة السالبة تعني التحدّب: شدّ على الوجه العلوي.

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 8 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R1 = 40 kN, R2 = 35 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

MA = 0, MB = −90, MC = −100, MD = −110, ME = −120 kN·m, MF = −60, MG = 0

الإجابة

علامة E: ME = −120 kN·m
7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Ix = 50,87 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: Af = 200·25 = 5000 mm², yf = 280 + 25/2 = 292,5 mm
الجذع: Aw = 8·280 = 2240 mm², yw = 280/2 = 140 mm

المركز

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5000·292,5 + 2240·140)/7240 = 245,3 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 200·25³/12 + 5000·(292,5 − 245,3)² = 1,139 × 10⁷ mm⁴
الجذع: 8·280³/12 + 2240·(140 − 245,3)² = 3,948 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,139 × 10⁷ + 3,948 × 10⁷ = 5,087 × 10⁷ mm⁴ = 50,87 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ix = 50,87 × 10⁶ mm⁴
8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σالأعلى = 21,45 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: Af = 240·15 = 3600 mm², yf = 180 + 15/2 = 187,5 mm
الجذع: Aw = 18·180 = 3240 mm², yw = 180/2 = 90 mm

المركز

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3600·187,5 + 3240·90)/6840 = 141,3 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 240·15³/12 + 3600·(187,5 − 141,3)² = 7,746 × 10⁶ mm⁴
الجذع: 18·180³/12 + 3240·(90 − 141,3)² = 1,728 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7,746 × 10⁶ + 1,728 × 10⁷ = 2,503 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.

y = 195 − 141,3 = 53,68 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁷·53,68/2,503 × 10⁷ = 21,45 MPa

الإجابة

σالأعلى = 21,45 MPa
9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θp = 75,13 °

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

στxyCσ1​σ2​

الزاوية على الدائرة

تقع النقطة x على دائرة مور بزاوية 2θp من المحور σ؛ ويُحدَّد الربع من إشارتي σₓ − σᵧ و τₓᵧ.

2θp = atan2(2·20, −60 − 10) = 150,3°

الزاوية على العنصر

θp = 75,13°

الإجابة

θp = 75,13°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ1 = 43,14 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

الإجهادات عند السطح

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·60³) = 14,15 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·60³) = 35,37 MPa
στxyCσ1​σ2​

دائرة مور

C = σ/2 = 7,074 MPa
R = √(7,074² + 35,37²) = 36,07 MPa
σ1 = C + R = 43,14 MPa
σ2 = C − R = −28,99 MPa

الإجابة

σ1 = 43,14 MPa
11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δmax = 45,35 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 8000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

الترخيم

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·8000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 45,35 mm

الإجابة

δmax = 45,35 mm
12.ترخيم الكمرة

الإجابة: hreq = 264 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

حدّ الترخيم

δallow = L/300 = 6000/300 = 20 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·6000⁴/(384·11000·20) = 2,301 × 10⁸ mm⁴

العمق المطلوب

bh³/12 = Ireq → h = (12·2,301 × 10⁸/150)1/3 = 264 mm

الإجابة

hreq = 264 mm

عمليًا، اختر العمق القياسي التالي الأكبر من هذه القيمة.

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: Pcr = 313,9 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·1000 = 2000 mm

الحمل الحرج

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2000² = 313939 N = 313,9 kN

الإجابة

Pcr = 313,9 kN
14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σcr = 21,93 MPa

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 314,2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/5 = 300

الإجهاد الحرج

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

الإجابة

σcr = 21,93 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials