مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 25 mm والطول 300 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من النحاس الأصفر (القطر 60 mm والطول 200 mm وE = 100 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,2 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: النحاس الأصفر, Ø60 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 115 kNالجزء 1: Ø40 mm، 1 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 1 m، النحاس (E = 117 GPa)

δ = mm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الألومنيوم مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 500 N·md = 40 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 15 kW عند 3000 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 15 kWN = 3000 rpmd_o = 40 mmd_i = 28 mm

τ_max = MPa

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكابولي مثبَّت عند A. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P على بعد 1 m من A. أوجد عزم الانحناء M_A عند الركيزة المثبَّتة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 3 mP = 40 kN عند 1 mw = 4 kN/m من 0 إلى 3 m

M_A = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 6 mP = 40 kN عند 3,5 mw = 4 kN/m من 0 إلى 6 m

M_max = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

لوح أبعاده 120 mm × 300 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 60 mm وارتفاعها 20 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 195 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 120 mmh = 300 mmالفتحة: 60 × 20 mmمركز الثقب: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 100 MPa، σᵧ = 10 MPa و τₓᵧ = 10 MPa (الشد موجب). أوجد الزاوية θ_s، بين −90° و 90°، من المحور x إلى العمودي على المستوى الذي يبلغ عليه إجهاد القص قيمته الموجبة القصوى +R (القص موجب في اتجاه τₓᵧ نفسه).

σ_x = 100 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_s = °

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 10 MPa و σᵧ = 100 MPa و τₓᵧ = −50 MPa (الشدّ موجب). أوجد إجهاد القص τ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 60° عكس عقارب الساعة من المحور x (موجب في الاتجاه نفسه لـ τₓᵧ).

σ_x = 10 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 60°

τ_θ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي طوله L مثبَّت عند A ويحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 1,5 m من A. أوجد الترخيم δ_B عند الطرف الحر B.

P = 2 kNa = 1,5 mL = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي I_req يحقّق هذا الحد.

w = 8 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 20 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 53,15 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 2827 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·2827) = 7,074 × 10⁻⁷ mm/N

الحمل

P = 0,2/3,763 × 10⁻⁶ = 53147 N = 53,15 kN

الإجابة

P = 53,15 kN

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 4,044 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 91,51 MPa

σ₂ = 366,1 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 91,51·1000/100000 = 0,9151 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 366,1·1000/117000 = 3,129 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,044 mm

الإجابة

δ = 4,044 mm

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 4,384 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(26000·251327) = 0,07652 rad

φ = 0,07652·180/π = 4,384°

الإجابة

φ = 4,384°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 5 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 15000/314,2 = 47,75 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 47746·20/190984 = 5 MPa

الإجابة

τ_max = 5 MPa

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_A = −58 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

احتفظ بجزء الطرف الحر

P: −40·1 = −40 kN·m

w: −4·3²/2 = −18 kN·m

M_A = −40 − 18 = −58 kN·m

الإجابة

M_A = −58 kN·m

الإشارة السالبة تعني التحدّب: شدّ على الوجه العلوي.

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 75,83 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·3,5 + 4·6·3

R_B = 212/6 = 35,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 35,33 = 28,67 kN

أين يكون V = 0؟

V(3,5⁻) = R_A − w·3,5 = 14,67 kN

V(3,5⁺) = 14,67 − 40 = −25,33 kN

يتغيّر القص في إشارته عند الحمل، لذا يقع الحد الأقصى تحت الحمل.

أقصى عزم

M_max = R_A·3,5 − w·3,5²/2 = 28,67·3,5 − 4·3,5²/2 = 75,83 kN·m

الإجابة

M_max = 75,83 kN·m

يقع عند x = 3,5 m من A.

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 13,62 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 100·25 = 2500 mm², y_f = 180 + 25/2 = 192,5 mm

الجذع: A_w = 8·180 = 1440 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2500·192,5 + 1440·90)/3940 = 155 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 100·25³/12 + 2500·(192,5 − 155)² = 3,639 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 8·180³/12 + 1440·(90 − 155)² = 9,979 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,639 × 10⁶ + 9,979 × 10⁶ = 1,362 × 10⁷ mm⁴ = 13,62 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 13,62 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 267,4 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (36000·150 − 1200·195)/(36000 − 1200) = 148,4 mm

اللوح الكامل حول ȳ

120·300³/12 + 36000·1,552² = 270,1 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

60·20³/12 + 1200·46,55² = 2,64 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 267,4 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 267,4 × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_s = −38,74 °

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

الزاوية على الدائرة

على دائرة مور تبعد نقطة القمة (+R) بـ 90° عن النقطة الرئيسية σ₁؛ وعلى العنصر يعادل ذلك 45°.

cos 2θ_s = 10/46,1 = 0,2169, sin 2θ_s = −45/46,1 = −0,9762

2θ_s = atan2(−45, 10) = −77,47°

الزاوية على العنصر

θ_s = −38,74°

تحقّق: θ_s − θ_p = −38,74 − 6,264 = −45°

الإجابة

θ_s = −38,74°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_θ = 63,97 MPa

معادلة التحويل

τ_θ = −−45·0,866 + −50·−0,5 = 63,97 MPa

الإجابة

τ_θ = 63,97 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_B = 9,454 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 2000 N, a = 1500 mm, L = 3000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

الترخيم عند الطرف الحر

الترخيم عند الحمل زائد الميل عند الحمل مضروبًا في الطول المتبقي.

δ_P = Pa³/(3EI) = 3,782 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,003782 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 9,454 mm

الإجابة

δ_B = 9,454 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: I_req = 115,7 × 10⁶ mm⁴

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·6000⁴/(384·70000·16,67) = 1,157 × 10⁸ mm⁴

I_req = 115,7 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_req = 115,7 × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 2,412 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1500² = 2412 N = 2,412 kN

الإجابة

P_cr = 2,412 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 126,3 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/20 = 125

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/125² = 126,3 MPa

الإجابة

σ_cr = 126,3 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials