مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب النحاس، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 65 kNd = 16 mmL = 2 mE = 117 GPa

ε = µε

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

مقطع الفولاذ (القطر 25 mm والطول 500 mm وE = 200 GPa) ومقطع من النحاس (القطر 30 mm والطول 300 mm وE = 120 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 40 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ₂ في المقطع 2.

المقطع 1: الفولاذ, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: النحاس, Ø30 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الألومنيوم مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 500 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الألومنيوم قطره 60 mm مثبَّت في جدارين صلبين عند طرفيه A و B. يؤثّر عزم التواء 1000 N·m عند C، على بعد 2,5 m من A و 0,8 m من B. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

d = 60 mmT₀ = 1000 N·ma = 2,5 mb = 0,8 m

τ_max = MPa

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

30 kN @ 8 m4 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

20 kN @ 6 m10 kN @ 3 m10 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 50 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_الأعلى عند الحافة العلوية.

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mmM = 50 kN·m

σ_الأعلى = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = −70 MPa، σᵧ = 80 MPa و τₓᵧ = 60 MPa (الشد موجب). أوجد الزاوية θ_s، بين −90° و 90°، من المحور x إلى العمودي على المستوى الذي يبلغ عليه إجهاد القص قيمته الموجبة القصوى +R (القص موجب في اتجاه τₓᵧ نفسه).

σ_x = −70 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_s = °

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = 80 MPa، σᵧ = −80 MPa و τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). أوجد الإجهاد المكافئ وفق فون ميزس σ_vM.

σ_x = 80 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 10 MPa

σ_vM = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δ_max عند منتصف البحر.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w وحملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 12 kNw = 2 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 70 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 70 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

d = mm

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 2763 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 65·1000/201,1 = 323,3 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 323,3/117000 = 0,002763 = 2763 µε

الإجابة

ε = 2763 µε

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ₂ = 33,4 MPa

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

الصلابات

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 120000·706,9/300 = 282743 N/mm

حصة المقطع 2

F₂ = 40000·282743/479093 = 23607 N

الإجهاد

σ₂ = 23607/706,9 = 33,4 MPa (ضغط)

الإجابة

σ₂ = 33,4 MPa

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 16,63 °

عزم القصور القطبي

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1200/(26000·79522) = 0,2902 rad

φ = 0,2902·180/π = 16,63°

الإجابة

φ = 16,63°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 17,86 MPa

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω. عندما يكون الطرفان مثبَّتين، يعطي علم السكون وحده T_A + T_B = T₀ فقط؛ والمعادلة الثانية هي التوافق (تساوي التواء الجزأين عند المقطع المحمَّل).

الاتزان والتوافق

T_A + T_B = 1000

T_A·a = T_B·b

T_A = 1000·0,8/3,3 = 242,4 N·m

T_B = 1000·2,5/3,3 = 757,6 N·m

أقصى إجهاد قص

أكبر العزمين يحكم (القطر نفسه).

τ_max = 16·757576/(π·60³) = 17,86 MPa

الإجابة

τ_max = 17,86 MPa

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 8 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 34 kN, R₂ = 44 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 60, M_C = 104, M_D = 132, M_E = 144 kN·m, M_F = 80, M_G = 0

الإجابة

علامة E: M_E = 144 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 4 m)

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 12,5 kN, R₂ = 57,5 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 7,5, M_C = 5, M_D = −7,5, M_E = −40 kN·m, M_F = −20, M_G = 0

الإجابة

علامة E: M_E = −40 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 28,21 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

الجذع: A_w = 8·260 = 2080 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·265 + 2080·130)/3680 = 188,7 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 160·10³/12 + 1600·(265 − 188,7)² = 9,329 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 8·260³/12 + 2080·(130 − 188,7)² = 1,888 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,329 × 10⁶ + 1,888 × 10⁷ = 2,821 × 10⁷ mm⁴ = 28,21 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 28,21 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأعلى = 72,24 MPa

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

الجذع: A_w = 16·260 = 4160 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·272,5 + 4160·130)/7660 = 195,1 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 140·25³/12 + 3500·(272,5 − 195,1)² = 2,114 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 16·260³/12 + 4160·(130 − 195,1)² = 4,107 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,114 × 10⁷ + 4,107 × 10⁷ = 6,221 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.

y = 285 − 195,1 = 89,89 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·89,89/6,221 × 10⁷ = 72,24 MPa

الإجابة

σ_الأعلى = 72,24 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_s = 25,67 °

الزاوية على الدائرة

على دائرة مور تبعد نقطة القمة (+R) بـ 90° عن النقطة الرئيسية σ₁؛ وعلى العنصر يعادل ذلك 45°.

cos 2θ_s = 60/96,05 = 0,6247, sin 2θ_s = −(−75)/96,05 = 0,7809

2θ_s = atan2(75, 60) = 51,34°

الزاوية على العنصر

θ_s = 25,67°

تحقّق: θ_s − θ_p = 25,67 − 70,67 = −45°

الإجابة

θ_s = 25,67°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_vM = 139,6 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σ_Y؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σ_Y/2.

الإجهادات الرئيسية

C = 0 MPa, R = 80,62 MPa

σ₁ = 80,62 MPa, σ₂ = −80,62 MPa, σ₃ = 0

فون ميزس

σ_vM = √(80,62² − 80,62·(−80,62) + (−80,62)²) = 139,6 MPa

الإجابة

σ_vM = 139,6 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 2,906 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

الترخيم

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·5000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 2,906 mm

الإجابة

δ_max = 2,906 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 1,954 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 12000 N, w = 2 N/mm, L = 2500 mm, EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(48EI) = 12000·2500³/(48·2,52 × 10¹²) = 1,55 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2500⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 0,4037 mm

اجمعها

δ_max = 1,55 + 0,4037 = 1,954 mm

الإجابة

δ_max = 1,954 mm

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 40,61 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/1750² = 40606 N = 40,61 kN

الإجابة

P_cr = 40,61 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 90,15 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2·70000 = 140000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·140000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 90,15 mm

الإجابة

d = 90,15 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 177,5، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials