مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب من الفولاذ (القطر 30 mm وE = 200 GPa) داخل أنبوب من البرونز (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 70 mm وE = 110 GPa). طول كل منهما 400 mm، ويُضغطان معًا بين لوحين صلبين بقوة 150 kN. أوجد الانضغاط δ.

P = 150 kNالقضيب: Ø30 mm, E = 200 GPaالأنبوب: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

مقطع الفولاذ (القطر 25 mm والطول 400 mm وE = 200 GPa) ومقطع من البرونز (القطر 40 mm والطول 400 mm وE = 110 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 20 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ₂ في المقطع 2.

المقطع 1: الفولاذ, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: البرونز, Ø40 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من النحاس الأصفر مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 400 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مجوّف 100 kW بسرعة 3000 rpm. يُراد أن يكون قطره الداخلي 0,6 مرة من قطره الخارجي، ويجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 80 MPa. أوجد أصغر قطر خارجي d_o.

P = 100 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 2 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5 mw = 8 kN/m من 0 إلى 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 3 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5 mP = 30 kN عند 3 mw = 10 kN/m من 0 إلى 5 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 150 mm × 240 mm فيه ثقب دائري قطره 60 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 84 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 150 mmh = 240 mmd = 60 mmمركز الثقب: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

لوح أبعاده 200 mm × 300 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 80 mm وارتفاعها 20 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 195 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 200 mmh = 300 mmالفتحة: 80 × 20 mmمركز الثقب: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 20 MPa، σᵧ = −60 MPa و τₓᵧ = 10 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 40° عكس عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σ_y′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.

σ_x = 20 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 70 MPa و σᵧ = 70 MPa و τₓᵧ = 10 MPa (الشدّ موجب). أوجد إجهاد القص τ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 30° باتجاه عقارب الساعة من المحور x (موجب في الاتجاه نفسه لـ τₓᵧ).

σ_x = 70 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -30°

τ_θ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δ_max عند منتصف البحر.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w وحملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 28 kNw = 12 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 60 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 0,1031 mm

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·4006 = 5,82 × 10⁸ N

الانضغاط

δ = 150000·400/5,82 × 10⁸ = 0,1031 mm

الإجابة

δ = 0,1031 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ₂ = 9,306 MPa

الصلابات

k₁ = 200000·490,9/400 = 245437 N/mm

k₂ = 110000·1257/400 = 345575 N/mm

حصة المقطع 2

F₂ = 20000·345575/591012 = 11694 N

الإجهاد

σ₂ = 11694/1257 = 9,306 MPa (ضغط)

الإجابة

σ₂ = 9,306 MPa

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 5,912 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(39000·79522) = 0,1032 rad

φ = 0,1032·180/π = 5,912°

الإجابة

φ = 5,912°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d_o = 28,55 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 100000/314,2 = 318,3 N·m

القطر الخارجي من الإجهاد المسموح

T = 318,3 N·m = 318310 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·318310/(π·80·0,8704)) = 28,55 mm

d_i = 0,6·28,55 = 17,13 mm

الإجابة

d_o = 28,55 mm

العمود المصمت يحتاج إلى d = 27,26 mm؛ والمجوّف أكبر قليلًا لكنه أخفّ بكثير.

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 24 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·5·2,5

R_B = 100/5 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

اقطع عند x = 2 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 20·2 − 8·2·1 = 24 kN·m

الإجابة

M_x = 24 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 66 kN·m

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·3 + 10·5·2,5

R_B = 215/5 = 43 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 43 = 37 kN

اقطع عند x = 3 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 37·3 − 10·3·1,5 = 66 kN·m

الإجابة

M_x = 66 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 168,2 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (36000·120 − 2827·84)/(36000 − 2827) = 123,1 mm

اللوح الكامل حول ȳ

150·240³/12 + 36000·−3,068² = 173,1 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−39,07² = 4,952 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 168,2 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 168,2 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 446,6 × 10⁶ mm⁴

المركز

ȳ = (60000·150 − 1600·195)/(60000 − 1600) = 148,8 mm

اللوح الكامل حول ȳ

200·300³/12 + 60000·1,233² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

80·20³/12 + 1600·46,23² = 3,473 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 446,6 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 446,6 × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_y′ = −36,79 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

معادلة التحويل للوجه y′

σ_y′ = −20 − 40·0,1736 − 10·0,9848 = −36,79 MPa

تحقّق

مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.

σ_x′ = −3,206 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −40 = σ_x + σ_y

الإجابة

σ_y′ = −36,79 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_θ = 5 MPa

معادلة التحويل

τ_θ = −0·−0,866 + 10·0,5 = 5 MPa

الإجابة

τ_θ = 5 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 3,013 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

الترخيم

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·6000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 3,013 mm

الإجابة

δ_max = 3,013 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 21,52 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 28000 N, w = 12 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(48EI) = 28000·3000³/(48·1,32 × 10¹²) = 11,93 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 9,588 mm

اجمعها

δ_max = 11,93 + 9,588 = 21,52 mm

الإجابة

δ_max = 21,52 mm

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 6,867 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·4000 = 8000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/8000² = 6867 N = 6,867 kN

الإجابة

P_cr = 6,867 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 137,1 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/12,5 = 120

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/120² = 137,1 MPa

الإجابة

σ_cr = 137,1 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials