مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب الفولاذ، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 40 kNd = 10 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σ_max في القضيب.

P = 15 kNالجزء 1: Ø40 mm، 0,5 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)الجزء 2: Ø16 mm، 1 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.التواء الأعمدةمتوسطة

في اختبار التواء، تُلوى عيّنة مصمتة قطرها 12 mm بعزم 100 N·m. يدور طرفا طول قياس مقداره 200 mm بزاوية 7,04° أحدهما بالنسبة إلى الآخر (المادة لا تزال مرنة). أوجد معامل القص G للمادة.

T = 100 N·md = 12 mmL = 200 mmφ = 7,04°

G = GPa

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 50 kW عند 1500 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 50 kWN = 1500 rpmd_o = 80 mmd_i = 48 mm

τ_max = MPa

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكابولي مثبَّت عند A. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P على بعد 2 m من A. أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 1,5 m من الركيزة المثبَّتة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 3 mP = 15 kN عند 2 mw = 10 kN/m من 0 إلى 3 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 3 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 4 mP = 45 kN عند 3 mw = 12 kN/m من 0 إلى 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 200 mm × 200 mm فيه ثقب دائري قطره 60 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 60 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 200 mmh = 200 mmd = 60 mmمركز الثقب: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

لوح أبعاده 120 mm × 200 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 40 mm وارتفاعها 30 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 80 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 120 mmh = 200 mmالفتحة: 40 × 30 mmمركز الثقب: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 140 MPa و σᵧ = 90 MPa. إلى أيّ حد يمكن أن يكبر إجهاد القص τ_xy (مقداره) قبل أن يبلغ أكبر إجهاد رئيسي 185 MPa؟

σ_x = 140 MPaσ_y = 90 MPaσ₁ = 185 MPa

τ_xy = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

عمود مصمت قطره 20 mm يحمل قوة ضغط محورية مقدارها 140 kN مع عزم التواء 100 N·m. عند سطح العمود، أوجد أكبر إجهاد رئيسي σ₁.

d = 20 mmF = −140 kNT = 100 N·m

σ₁ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 1 m من الركيزة A. أوجد الترخيم δ_P تحت الحمل.

P = 20 kNa = 1 mL = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w وحملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 29 kNw = 8 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. يجب أن يحمل 45 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 45 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 2546 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 40·1000/78,54 = 509,3 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الفولاذ = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 509,3/200000 = 0,002546 = 2546 µε

الإجابة

ε = 2546 µε

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ_max = 74,6 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 11,94 MPa

σ₂ = 74,6 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σ_max = 74,6 MPa

الإجابة

σ_max = 74,6 MPa

3.التواء الأعمدة

الإجابة: G = 79,96 GPa

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي والزاوية

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 7,04·π/180 = 0,1229 rad

معامل القص

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·200/(2036·0,1229) = 79957 MPa

G = 79,96 GPa

الإجابة

G = 79,96 GPa

للمقارنة: الفولاذ ≈ 80 GPa، النحاس الأصفر ≈ 39 GPa، الألومنيوم ≈ 26 GPa.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 3,638 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(80⁴ − 48⁴)/32 = 3,5 × 10⁶ mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 318310·40/3,5 × 10⁶ = 3,638 MPa

الإجابة

τ_max = 3,638 MPa

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = −18,75 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

احتفظ بجزء الطرف الحر

P: −15·0,5 = −7,5 kN·m

w: −10·1,5²/2 = −11,25 kN·m

M_x = −7,5 − 11,25 = −18,75 kN·m

الإجابة

M_x = −18,75 kN·m

الإشارة السالبة تعني التحدّب: شدّ على الوجه العلوي.

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 51,75 kN·m

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·3 + 12·4·2

R_B = 231/4 = 57,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 93 − 57,75 = 35,25 kN

اقطع عند x = 3 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 35,25·3 − 12·3·1,5 = 51,75 kN·m

الإجابة

M_x = 51,75 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 127,8 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (40000·100 − 2827·60)/(40000 − 2827) = 103 mm

اللوح الكامل حول ȳ

200·200³/12 + 40000·−3,042² = 133,7 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−43,04² = 5,874 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 127,8 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 127,8 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 79,4 × 10⁶ mm⁴

المركز

ȳ = (24000·100 − 1200·80)/(24000 − 1200) = 101,1 mm

اللوح الكامل حول ȳ

120·200³/12 + 24000·−1,053² = 80,03 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

40·30³/12 + 1200·−21,05² = 0,6219 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 79,4 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 79,4 × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_xy = 65,38 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

نصف القطر المطلوب

C = (140 + 90)/2 = 115 MPa

R = σ₁ − C = 185 − 115 = 70 MPa

إجهاد القص

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(70² − 25²) = 65,38 MPa

الإجابة

τ_xy = 65,38 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ₁ = 8,916 MPa

الإجهادات عند السطح

σ = F/A = −140000/(π·20²/4) = −140000/314,2 = −445,6 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·20³) = 63,66 MPa

دائرة مور

C = σ/2 = −222,8 MPa

R = √((−222,8)² + 63,66²) = 231,7 MPa

σ₁ = C + R = 8,916 MPa

σ₂ = C − R = −454,6 MPa

الإجابة

σ₁ = 8,916 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_P = 1,157 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 20000 N, a = 1000 mm, b = 5000 mm, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

الترخيم تحت الحمل

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 20000·1000²·5000²/(3·2,4 × 10¹³·6000) = 1,157 mm

الإجابة

δ_P = 1,157 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 19,44 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 29000 N, w = 8 N/mm, L = 1500 mm, EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(48EI) = 29000·1500³/(48·1,32 × 10¹¹) = 15,45 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·1500⁴/(384·1,32 × 10¹¹) = 3,995 mm

اجمعها

δ_max = 15,45 + 3,995 = 19,44 mm

الإجابة

δ_max = 19,44 mm

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 319,8 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·1500 = 1500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/1500² = 319848 N = 319,8 kN

الإجابة

P_cr = 319,8 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 80,41 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2,5·45000 = 112500 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·112500·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 80,41 mm

الإجابة

d = 80,41 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 298,5، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials