مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي
σ = F/A
الانفعال
ε = ΔL/L
قانون هوك
σ = E·ε
الاستطالة
ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري
εT = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص
τ = T·r/J
عمود مصمت
J = πd⁴/32
عمود مجوّف
J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء
φ = TL/(GJ)
القدرة
P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

  1. أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
  2. إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
  3. زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
  4. إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز
C = (σx + σy)/2
نصف القطر
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
الإجهادات الرئيسية
σ1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
مستوى مائل
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

الطريقة

  1. احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
  2. احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
  4. الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر
δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز
δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي
δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم
δ = wL⁴/(8EI)
التراكب
δ = δ1 + δ2

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر
Pcr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال
K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج
σcr = Pcr/A
النحافة
λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة
P = ?12400 mm400 mmØ25Ø40δ = 0,2 mm

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 25 mm والطول 400 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من النحاس الأصفر (القطر 40 mm والطول 400 mm وE = 100 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,2 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: النحاس الأصفر, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,2 mm
P = kN
2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة
20 kN12400 mm500 mmØ30Ø60σ2​ = ?

مقطع الفولاذ (القطر 30 mm والطول 400 mm وE = 200 GPa) ومقطع من الألومنيوم (القطر 60 mm والطول 500 mm وE = 70 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 20 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ2 في المقطع 2.

المقطع 1: الفولاذ, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: الألومنيوم, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
3.التواء الأعمدةمتوسطة
T = 250 N·md = 40 mmL = 1 mφ = ?

عمود مصمت من النحاس الأصفر مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 250 N·md = 40 mmL = 1 mG = 39 GPa
φ = °
4.التواء الأعمدةصعبة
Td = ?

يجب أن ينقل عمود مصمت 50 kW عند 1800 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 75 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.

P = 50 kWN = 1800 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
P1​ = 40 kNP2​ = 20 kNABC2 m2 m1 m

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1 m حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P1 بين الركيزتين وحملًا مركّزًا P2 عند C. أوجد عزم الانحناء Mx تحت الحمل P1. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5 mP1 = 40 kN عند 2 mP2 = 20 kN عند 5 mركيزتان عند x = 0 و x = 4 m
Mx = kN·m
6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
5 kN/m45 kN10 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

45 kN @ 12 m10 kN @ 2 m5 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
2802514010xالأبعاد بالـ mm

أوجد عزم القصور الذاتي Ix لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

bf = 280 mmtf = 25 mmtw = 10 mmhw = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
200 mm300 mm105 mm50 × 40xIx​ = ?

لوح أبعاده 200 mm × 300 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 50 mm وارتفاعها 40 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 105 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 200 mmh = 300 mmالفتحة: 50 × 40 mmمركز الثقب: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة
σx​ = −10τxy​ = −30MPa

عند نقطة σₓ = −10 MPa، σᵧ = 0 MPa و τₓᵧ = −30 MPa (الشد موجب). أوجد الزاوية θs، بين −90° و 90°، من المحور x إلى العمودي على المستوى الذي يبلغ عليه إجهاد القص قيمته الموجبة القصوى +R (القص موجب في اتجاه τₓᵧ نفسه).

σx = −10 MPaσy = 0 MPaτxy = −30 MPa
θs = °
10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة
σx​ = 70σy​ = 100τxy​ = 40MPa

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 70 MPa و σᵧ = 100 MPa و τₓᵧ = 40 MPa (الشدّ موجب). أوجد إجهاد القص τθ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 35° عكس عقارب الساعة من المحور x (موجب في الاتجاه نفسه لـ τₓᵧ).

σx = 70 MPaσy = 100 MPaτxy = 40 MPaθ = 35°
τθ = MPa
11.ترخيم الكمرةمتوسطة
w = 5 kN/mP = 17 kNABδ3 m

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P عند طرفه الحر. باستخدام التراكب، أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

P = 17 kNw = 5 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.ترخيم الكمرةصعبة
w = 12 kN/mδL = 1,5 m

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي Ireq يحقّق هذا الحد.

w = 12 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.انبعاج الأعمدةمتوسطة
PL = 1,5 m40 × 100 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
14.انبعاج الأعمدةصعبة
PL = 2 md = 50 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σcr من صيغة أويلر.

L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 50 mm
σcr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 27,56 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، Pi = P·EiAi/ΣEA، وσi = Ei·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1257 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·1257) = 3,183 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,2/7,257 × 10⁻⁶ = 27558 N = 27,56 kN

الإجابة

P = 27,56 kN
2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ2 = 3,737 MPa

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، Pi = P·EiAi/ΣEA، وσi = Ei·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

الصلابات

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm
k₂ = 70000·2827/500 = 395841 N/mm

حصة المقطع 2

F2 = 20000·395841/749270 = 10566 N

الإجهاد

σ2 = 10566/2827 = 3,737 MPa (ضغط)

الإجابة

σ2 = 3,737 MPa
3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 1,461 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(39000·251327) = 0,02551 rad
φ = 0,02551·180/π = 1,461°

الإجابة

φ = 1,461°
4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 26,21 mm

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

القطر من الإجهاد المسموح

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·265258/(π·75)) = 26,21 mm

الإجابة

d = 26,21 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mx = 30 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها. حمل الجزء البارز يؤثّر أيضًا بعزم حول A.

ΣMA = 0: RB·4 = 40·2 + 20·5
RB = 180/4 = 45 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 45 = 15 kN

اقطع تحت P1 واحتفظ بالجزء الأيسر

Mx = RA·2 = 15·2 = 30 kN·m

الإجابة

Mx = 30 kN·m
6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 8 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R1 = 5 kN, R2 = 90 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

MA = 0, MB = 0, MC = −40, MD = −100, ME = −180 kN·m, MF = −90, MG = 0

الإجابة

علامة E: ME = −180 kN·m
7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Ix = 10,59 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: Af = 280·25 = 7000 mm², yf = 140 + 25/2 = 152,5 mm
الجذع: Aw = 10·140 = 1400 mm², yw = 140/2 = 70 mm

المركز

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7000·152,5 + 1400·70)/8400 = 138,8 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 280·25³/12 + 7000·(152,5 − 138,8)² = 1,688 × 10⁶ mm⁴
الجذع: 10·140³/12 + 1400·(70 − 138,8)² = 8,904 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,688 × 10⁶ + 8,904 × 10⁶ = 1,059 × 10⁷ mm⁴ = 10,59 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ix = 10,59 × 10⁶ mm⁴
8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Ix = 445,5 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (60000·150 − 2000·105)/(60000 − 2000) = 151,6 mm

اللوح الكامل حول ȳ

200·300³/12 + 60000·−1,552² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

50·40³/12 + 2000·−46,55² = 4,601 × 10⁶ mm⁴

اطرح

Ix = 445,5 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ix = 445,5 × 10⁶ mm⁴
9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θs = 85,27 °

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

στxyCτmax​

الزاوية على الدائرة

على دائرة مور تبعد نقطة القمة (+R) بـ 90° عن النقطة الرئيسية σ₁؛ وعلى العنصر يعادل ذلك 45°.

cos 2θs = −30/30,41 = −0,9864, sin 2θs = −(−5)/30,41 = 0,1644
2θs = atan2(5, −30) = 170,5°

الزاوية على العنصر

θs = 85,27°
تحقّق: θs − θp = 85,27 − (−49,73) = 135°

الإجابة

θs = 85,27°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τθ = 27,78 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

معادلة التحويل

τθ = −−15·0,9397 + 40·0,342 = 27,78 MPa

الإجابة

τθ = 27,78 MPa
11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 44,27 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 17000 N, w = 5 N/mm, L = 3000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

كل حمل منفردًا

δP = PL³/(3EI) = 17000·3000³/(3·4,6 × 10¹²) = 33,26 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 5·3000⁴/(8·4,6 × 10¹²) = 11,01 mm

اجمعها

δ = 33,26 + 11,01 = 44,27 mm

الإجابة

δ = 44,27 mm
12.ترخيم الكمرة

الإجابة: Ireq = 17,26 × 10⁶ mm⁴

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

حدّ الترخيم

δallow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·1500⁴/(384·11000·4,167) = 1,726 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 17,26 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ireq = 17,26 × 10⁶ mm⁴
13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: Pcr = 117 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·1500 = 3000 mm

الحمل الحرج

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/3000² = 116973 N = 117 kN

الإجابة

Pcr = 117 kN
14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σcr = 6,747 MPa

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 2·2000 = 4000 mm
KL/r = 4000/12,5 = 320

الإجهاد الحرج

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/320² = 6,747 MPa

الإجابة

σcr = 6,747 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials